Nếu 2 ô bên dưới quá nhỏ, hãy kéo và thả chúng lên đây!
Bài tập 220: Bài 7/65
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a) \[ab + bc + ca \le {a^2} + {b^2} + {c^2} < 2(ab + bc + ca)\]
b) \[abc > (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b)\]
c) \[2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{c^2}{a^2} - {a^4} - {b^4} - {c^4} > 0\]
d) \[a{(b - c)^2} + b{(c - a)^2} + c{(a + b)^2} > {a^3} + {b^3} + {c^3}\]
a) \[ab + bc + ca \le {a^2} + {b^2} + {c^2} < 2(ab + bc + ca)\]
b) \[abc > (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b)\]
c) \[2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{c^2}{a^2} - {a^4} - {b^4} - {c^4} > 0\]
d) \[a{(b - c)^2} + b{(c - a)^2} + c{(a + b)^2} > {a^3} + {b^3} + {c^3}\]
Các User đã xem: Huỳnh Quang Huy1 Nguyễn Mậu Trung Trọng2 Ngô Vũ Thanh Hoàng11 Lê Xuân Hồng6 Nguyễn Phạm Hồng Trâm6 Phạm Tiến Danh31 Bùi Gia Nhật Linh2
Lưu ý! Để tham gia bình luận bạn phải đăng kí thành viên và đăng nhập!
Phạm Tiến Danh
lớp:9/1
Trường:Trường THCS Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Phạm Tiến Danh
\[ \Leftrightarrow a{(b - c)^2} + b{(c - a)^2} + c{(a + b)^2} - {a^3} - {b^3} - {c^3} > 0\]
\[ \Leftrightarrow a\left[ {{{(b - c)}^2} - {a^2}} \right] + b\left[ {{{(c - a)}^2} - {b^2}} \right] + c\left[ {{{(a + b)}^2} - {c^2}} \right] > 0\]
\[ \Leftrightarrow a(b - c - a)(b - c + a) + b(c - a - b)(c - a + b) + c(a + b - c)(a + b + c) > 0\]
\[ \Leftrightarrow (a + b - c)\left( {ab - ac - {a^2} + ca + bc + {c^2}} \right) + b(c - a - b)(c - a + b) > 0\]
\[ \Leftrightarrow (a + b - c)\left[ {(c - a)(c + a) + b(c + a)} \right] - b(a + b - c)(c - a + b) > 0\]
\[ \Leftrightarrow (a + b - c)(c + a)(c - a + b) - b(a + b - c)(c - a + b) > 0\]
\[ \Leftrightarrow (a + b - c)(c - a + b)(c + a - b) > 0\]
Mà a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên:
\[\left\{ \begin{array}{l}
a + b - c > 0\\
c - a + b > 0\\
c + a - b > 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow (a + b - c)(c - a + b)(c + a - b) > 0\]
\[ \Leftrightarrow a{(b - c)^2} + b{(c - a)^2} + c{(a + b)^2} > {a^3} + {b^3} + {c^3}\] (đpcm)
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Phạm Tiến Danh
lớp:9/1
Trường:Trường THCS Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Phạm Tiến Danh
c) \[2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{c^2}{a^2} - {a^4} - {b^4} - {c^4} > 0\]
\[ \Leftrightarrow 4{a^2}{b^2} - 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{c^2}{a^2} - {a^4} - {b^4} - {c^4} > 0\]
\[ \Leftrightarrow 4{a^2}{b^2} - ({a^4} + {b^4} + {c^4} + 2{a^2}{b^2} - 2{b^2}{c^2} - 2{c^2}{a^2}) > 0\]
\[ \Leftrightarrow 4{a^2}{b^2} - {({a^2} + {b^2} - {c^2})^2} > 0\]
\[ \Leftrightarrow (2ab - {a^2} - {b^2} + {c^2})(2ab + {a^2} + {b^2} - {c^2}) > 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {{c^2} - {{(a - b)}^2}} \right]\left[ {{{(a + b)}^2} - {c^2}} \right] > 0\]
\[ \Leftrightarrow (c - a + b)(c + a - b)(a + b - c)(a + b + c) > 0\]
Mà a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên
\[\left\{ \begin{array}{l}
c - a + b > 0\\
c + a - b > 0\\
a + b - c > 0\\
a + b + c > 0
\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{c^2}{a^2} - {a^4} - {b^4} - {c^4} > 0\] (đpcm)
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Phạm Tiến Danh
lớp:9/1
Trường:Trường THCS Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Phạm Tiến Danh
b) \[abc \ge (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b)\]
Ta có: \[{a^2} > {a^2} - {(b - c)^2} \Rightarrow {a^2} > (a - b + c)(a + b - c)\]
Tương tự với 2 bất đẳng thức còn lại, ta có:
\[{b^2} > {b^2} - {(c - a)^2} \Rightarrow {b^2} > (b - c + a)(b + c - a)\]
\[{c^2} > {c^2} - {(a - b)^2} \Rightarrow {c^2} > (c - a + b)(c + a - b)\]
Nhân vế theo vế, ta được:
\[{a^2}{b^2}{c^2} > {\left[ {(a + b - c)(b + c - a)(a + c - b)} \right]^2}\]
\[ \Leftrightarrow abc > (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b)\] (đpcm)
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Phạm Tiến Danh
lớp:9/1
Trường:Trường THCS Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Phạm Tiến Danh
\[ \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} + {b^2} - 2bc + {c^2} + {c^2} - 2ca + {a^2} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2(ab + bc + ca)\]
\[ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\] (1)
Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: a>\[\left| {b - c} \right|\]\[ \Rightarrow \] \[{a^2} > {b^2} - 2bc + {c^2}\]
Tương tự với 2 bất đẳng thức còn lại
\[\begin{array}{ccccc}
b > \left| {c - a} \right| \Rightarrow {b^2} > {c^2} - 2ca + {a^2}\\
c > \left| {a - b} \right| \Rightarrow {c^2} > {a^2} - 2ab + {b^2}
\end{array}\]
Cộng vế theo vế ta được:
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} > {b^2} - 2bc + {c^2} + {c^2} - 2ca + {a^2} + {a^2} - 2ab + {b^2}\]
\[ \Leftrightarrow - {a^2} - {b^2} - {c^2} > - 2bc - 2ca - 2ab\]
\[ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} < 2(ab + bc + ca)\] (2)
Từ (1),(2) ta suy ra đpcm
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét