Nếu 2 ô bên dưới quá nhỏ, hãy kéo và thả chúng lên đây!
Bài tập 171: Một số bài tập áp dụng Cauchy cho các biểu thức đồng bậc
1)Chứng minh rằng: $\frac{{{a^5}}}{{{b^3}}} + \frac{{{b^5}}}{{{c^3}}} + \frac{{{c^5}}}{{{a^3}}} \ge \frac{{{a^4}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^4}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^4}}}{{{a^2}}}\,\,(\forall a,b,c > 0)$
2)Chứng minh rằng: $\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^3}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^3}}} \ge \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}\,\,(\forall a,b,c > 0)$
3)Chứng minh rằng: $\frac{{{a^2}}}{{{b^5}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^5}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^5}}} \ge \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}} + \frac{1}{{{a^3}}}\,\,(\forall a,b,c > 0)$
2)Chứng minh rằng: $\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^3}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^3}}} \ge \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}\,\,(\forall a,b,c > 0)$
3)Chứng minh rằng: $\frac{{{a^2}}}{{{b^5}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^5}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^5}}} \ge \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}} + \frac{1}{{{a^3}}}\,\,(\forall a,b,c > 0)$
1)$4\left( {\frac{{{a^5}}}{{{b^3}}} + \frac{{{b^5}}}{{{c^3}}} + \frac{{{c^5}}}{{{a^3}}}} \right) + {a^2} + {b^2} + {c^2} = \sum\limits_{cyc} {\left( {4\frac{{{a^5}}}{{{b^3}}} + {b^2}} \right)} $
2)Nhận xét: Vì cả 2 vế đề bậc 0 nên ta phải cộng thêm đa thức bậc 0
Có: $2\left( {\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^3}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^3}}}} \right) + 3 = \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} + \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} + 1} \right)} \ge \sum\limits_{cyc} {3\sqrt[3]{{\frac{{{{({a^2})}^3}}}{{{{({b^2})}^3}}}}}} = \sum\limits_{cyc} {3\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = 3\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right)} = $
$ = 2\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right) + \left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right) \ge 2\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right) + 3\sqrt[3]{{\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}.\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}}.\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}}} = $
$ = 2\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right) + 3 \Rightarrow DPCM$
3)Vì cả 2 vế đồng bậc (–3) nên ta cộng thêm biểu thức có bậc – 3 và sử dụng BĐT AM-GM ta được:
$\sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{3{a^2}}}{{{b^5}}} + \frac{2}{{{a^3}}}} \right) \ge \sum\limits_{cyc} {5\sqrt[5]{{{{\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^5}}}} \right)}^3}.{{\left( {\frac{1}{{{a^3}}}} \right)}^2}}} = 5\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right)} } $
Có: $3\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) + 2\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) = \sum\limits_{cyc} {\left( {3.\frac{{{a^2}}}{{{b^5}}} + 2.\frac{1}{{{a^3}}}} \right)} \Rightarrow DPCM$
2)Nhận xét: Vì cả 2 vế đề bậc 0 nên ta phải cộng thêm đa thức bậc 0
Có: $2\left( {\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^3}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^3}}}} \right) + 3 = \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} + \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} + 1} \right)} \ge \sum\limits_{cyc} {3\sqrt[3]{{\frac{{{{({a^2})}^3}}}{{{{({b^2})}^3}}}}}} = \sum\limits_{cyc} {3\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = 3\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right)} = $
$ = 2\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right) + \left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right) \ge 2\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right) + 3\sqrt[3]{{\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}.\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}}.\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}}} = $
$ = 2\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right) + 3 \Rightarrow DPCM$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
3)Vì cả 2 vế đồng bậc (–3) nên ta cộng thêm biểu thức có bậc – 3 và sử dụng BĐT AM-GM ta được:
$\sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{3{a^2}}}{{{b^5}}} + \frac{2}{{{a^3}}}} \right) \ge \sum\limits_{cyc} {5\sqrt[5]{{{{\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^5}}}} \right)}^3}.{{\left( {\frac{1}{{{a^3}}}} \right)}^2}}} = 5\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right)} } $
Có: $3\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) + 2\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) = \sum\limits_{cyc} {\left( {3.\frac{{{a^2}}}{{{b^5}}} + 2.\frac{1}{{{a^3}}}} \right)} \Rightarrow DPCM$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Các User đã xem: Nguyễn Phúc Thịnh1 Lê Xuân Hồng1
Lưu ý! Để tham gia bình luận bạn phải đăng kí thành viên và đăng nhập!
Lê Thị Lệ Hằng
lớp:9/5
Trường:THCS Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Thị Lệ Hằng
\[\frac{{{a^2}}}{{{b^5}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^5}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^5}}} + \frac{1}{{{a^2}b}} + \frac{1}{{{b^2}c}} + \frac{1}{{{c^2}a}} = \sum\limits_{cyc} ( \frac{{{a^2}}}{{{b^5}}} + \frac{1}{{{a^2}b}}) \ge \sum\limits_{cyc} {2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{b^5}}}.\frac{1}{{{a^2}b}}} } = \sum\limits_{cyc} {2.} \frac{1}{{{b^3}}} = 2(\frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}})\]
Đẳng thức xảy ra khi: a=b=c
Thưa thầy bạn Doanh sai dấu ở bài 1, dòng thứ 2: dấu( lớn hơn hoặc bằng) đầu tiên ở dòng thứ hai cần đổi lại thành dấu bằng.
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Lê Khả Doanh
lớp:9
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Khả Doanh
Ta có: $\frac{{{a^5}}}{{{b^3}}} + \frac{{{b^5}}}{{{c^3}}} + \frac{{{c^5}}}{{{a^3}}} + \frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} = \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{a^5}}}{{{b^3}}} + \frac{{{a^3}}}{b}} \right) \ge \sum\limits_{cyc} {2\sqrt {\frac{{{a^5}}}{{{b^3}}}.\frac{{{a^3}}}{b}} = \sum\limits_{cyc} {2\frac{{{a^4}}}{{{b^2}}} = 2\left( {\frac{{{a^4}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^4}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^4}}}{{{a^2}}}} \right)} } } $
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Lê Khả Doanh
lớp:9
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Khả Doanh
Ta có: $\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^3}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^3}}} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} + \frac{a}{b}} \right) \ge \sum\limits_{cyc} {2\sqrt {\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}}.\frac{a}{b}} = \sum\limits_{cyc} {2\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = 2\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right)} } } $
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét