Nếu 2 ô bên dưới quá nhỏ, hãy kéo và thả chúng lên đây!
Bài tập 180: Hình học
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:
$a)\frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}} = \frac{{BE}}{{CF}}$
$b)E{F^3} = EB.BC.CF$
$c)BE\sqrt {CH} + CF\sqrt {BH} = AH\sqrt {BC} $
$a)\frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}} = \frac{{BE}}{{CF}}$
$b)E{F^3} = EB.BC.CF$
$c)BE\sqrt {CH} + CF\sqrt {BH} = AH\sqrt {BC} $
Các User đã xem:
Lưu ý! Để tham gia bình luận bạn phải đăng kí thành viên và đăng nhập!
Lê Thị Lệ Hằng
lớp:9/5
Trường:THCS Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Thị Lệ Hằng
b.
Giả sử giả thuyết đề bài cho luôn đúng thì:
\[\begin{array}{l}
{\rm{E}}{{\rm{F}}^3} = EB.BC.CF \Leftrightarrow A{H^3} = EB.BC.CF \\
\\
\end{array}\]
(Do chứng minh FHEA là hcn ở câu a)(**)
Xét cặp tam giác HEB và CAB, ta có 2 tam giác này đồng dạng
Nên:
\[\begin{array}{l}
\frac{{HE}}{{CA}} = \frac{{EB}}{{AB}} = \frac{{BH}}{{CB}} \\
\Leftrightarrow EB.CB = AB.HB \\
\\
\end{array}\]
(2)
Thế (2) vào (**), ta được:\[\begin{array}{l}
A{H^3} = EB.BC.CF \\
= HB.AB.CF \\
\end{array}\]
Tiếp tục xét cặp tam giác CFH và AHB,ta thu được:AB.CF=AH.CH
Thế vào phần chứng minh đang giở, ta có được:
\[\begin{array}{l}
A{H^3} = HB.AB.CF \\
= AH.CH.HB \\
\Leftrightarrow A{H^2} = CH.HB \\
\end{array}\]
Từ đây ta có thể thực hiện tiếp bài toán theo 2 hướng:
+ Áp dụng trực tiếp hệ thức lượng trong tam giác vuông
+ Sử dụng và chứng minh cặp tam giác CHA và AHB đồng dạng
Và hoàn tất bài toán cần chứng minh.
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Lê Thị Lệ Hằng
lớp:9/5
Trường:THCS Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Thị Lệ Hằng
luôn luôn đúng thì:
\[\begin{array}{l}
A{B^3}.CF = A{C^3}.BE \\
\Leftrightarrow AB.CF.A{B^2} = AC.BE.A{C^2} \\
\Leftrightarrow AB.CF.BC.BH = AC.BE.BC.CH \\
\end{array}\]
(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\[ \Leftrightarrow AB.CF.BH = AC.BE.CH\]
Lại có: tam giác CFH và tam giác CAB đồng dạng ( trường hợp góc - góc)
Nên:\[AB.CF = AC.FH\]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow AB.CF.BH = AC.BE.CH \Leftrightarrow AC.FH.BH = AC.BE.CH \\
\Leftrightarrow FH.BH = BE.CH \\
\end{array}\]
(1)
Ta hoàn toàn chứng minh được FHAE là hình chữ nhật
=> FH=AE(*)
Thế (*) vào (1) ta được:
\[AE.BH = BE.CH\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{CH}} = \frac{{BE}}{{AE}}\]
(Áp dụng định lý Ta- lét ta hoàn toàn có thể chứng minh diều này luôn đúng nên giả thuyết đề bài cho được chứng minh.)
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Lê Khả Doanh
lớp:9
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Khả Doanh
$\begin{array}{l}
a)\frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}} = \frac{{BE}}{{CF}}\\
b)E{F^3} = EB.BC.CF\\
c)BE\sqrt {CH} + CF\sqrt {BH} = AH\sqrt {BC}
\end{array}$\
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Lê Xuân Hồng
lớp:0
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Xuân Hồng
Với dạng toán này, phương pháp chung nhất là:
-Biến đổi, thu gọn đẳng thức cần chứng minh thành 1 đẳng thức khác đơn giản hơn hay thành 1 tỉ lệ thức bằng việc tìm ra tất cả các tam giác đồng dạng, suy ra các tỉ lệ thức có chứa các đoạn thẳng gần gũi, bằng hoặc giống với các đoạn thẳng có trong đẳng thức cần chứng minh từ đó giúp ta có thể thu gọn nó.
Sau đây là cách suy luận và phân tích của thầy; trên cơ sở đó các em hãy trình bày lại hoàn thiện theo cách này sau đó hãy thử suy luận theo hướng khác để tìm ra cách giải hay hơn, ngắn hơn (cố gắng nên tìm thêm cách khác dựa trên quy trình suy luận bên dưới của thầy nhé!)
-Đầu tiên ta thấy cần thiết phải làm mất các dấu căn thức, nếu vậy cần phải có bình phương, điều này làm ta chợt nhớ tới các đẳng thức đã được biết ở năm lớp 8 (trong năm lớp 9 ta gọi đây là các hệ thức lượng trong tam giác vuông):
AB2 =BC. BH
AC2 =BC. CH
AH2 = BH.CH
AB.AC = BC.AH
-Chính vì điều đó, thầy nhân cả 2 vế với \[\sqrt {BC} \] ta được: \[BE.\sqrt {CH.BC} + CF.\sqrt {BH.BC} = AH.\sqrt {B{C^2}} \]
\[ \Leftrightarrow BE.AC + CF.AB = AH.BC\]
-Để ý chút, với đẳng thức này ta nhanh chóng nhận ra sự quen thuộc trong kết quả ở câu a, ta nghĩ ngay thử áp dụng kết quả câu a vào xem sao! Để có thể sử dụng kết quả câu a, ta biến đổi 1 chút bằng cách lại chia cả 2 vế đẳng thức trên với $CF.AB$ ta được:
\[\frac{{BE.AC}}{{CF.AB}} + 1 = \frac{{AH.BC}}{{CF.AB}}\] thay kết quả câu a vào đây ta đi đến: \[\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} + 1 = \frac{{AH.BC}}{{CF.AB}}\]
-Nhìn vào đây ta cần nghĩ tới việc phải làm mất số 1 (Vì thông thường trong loại toán dạng này ta nên cố gắng biến đổi, thu gọn để đưa về 1 tỉ lệ thức hay 1 đẳng thức mà vế trái và vế phải đều là 1 tích của 2 đoạn thẳng). Lại nghĩ tới định lý Pytago nên ta dễ dàng xuất hiện cách làm như sau:
\[\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} + \frac{{A{C^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{AH.BC}}{{CF.AB}} \Leftrightarrow \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{AH.BC}}{{CF.AB}} \Leftrightarrow \frac{{B{C^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{AH.BC}}{{CF.AB}}\]
-Tiếp tục để ý tử thức vế phải trùng với đẳng thức $AB.AC = BC.AH$, thay vào ta lại được: \[\frac{{B{C^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{AC}}{{CF}}\]
-Với mục tiêu biến đổi, rút gọn thành 1 tỉ lệ thức, lại thấy vế trái còn bình phương nên ta cần phải tiếp tục biến đổi, đơn giản hơn nữa, để làm được điều này ta lại phải tiếp tục quan sát hình vẽ để tìm các tam giác đồng dạng và từ đó tìm ra các đoạn thẳng tỉ lệ sử dụng cho việc đơn giản, biến đổi này. Hơn nữa, để có thể rút gọn thì ta cần tìm tác tỉ số giữa các đoạn thẳng bằng nhau, giống nhau... vì vậy ta nhanh chóng nhìn thấy:
\[\frac{{AC}}{{CF}} = \frac{{BC}}{{CH}}\,\,(\Delta ABC \sim \Delta FHC)\]
-Tỉ số này có chứa đoạn BC giúp ta có thể chia cả 2 vế cho BC. Lúc này ta được đẳng thức:
\[\frac{{BC}}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{CH}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{CH}}\]
-Ta thấy, từ 1 đẳng thức phức tạp ban đầu, ta đã biến đổi, thu gọn (bằng phép biến đổi tương đương) giờ chỉ còn lại 1 tỉ lệ thức; Đến đây, công việc còn lại ai cũng sẽ nghĩ ngay tới việc tìm 2 tam giác đồng dạng để chứng minh và dễ dàng nhận thấy tỉ lệ thức cuối cùng cho bởi 2 tam giác đồng dạng sau:
\[\Delta ABC \sim \Delta HAC\]
-Qua cách phân tích trên, thầy hy vọng các em có thể hiểu ra cách lập luận tìm lời giải cho các dạng toán loại này;
-Thầy yêu cầu các em thực hiện tiếp theo những công việc sau:
1)Trình bày lại theo cách trên thành bài giải hoàn chỉnh.
2)Thử phân tích theo hướng khác cũng với cách làm đó để tìm lời giải hay hơn, ngắn hơn.
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét