Nếu 2 ô bên dưới quá nhỏ, hãy kéo và thả chúng lên đây!
Bài tập 212: BÀI 1 TRANG 65 (ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY)
Cho a, b, c \[ \ge \] 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \[\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right) \ge 8abc\]
b) \[\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 9abc\]
c) \[\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right) \ge {\left( {1 + \sqrt[3]{{abc}}} \right)^3}\]
d) \[\frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge a + b + c\] với a, b, c > 0
e) \[{a^2}\left( {1 + {b^2}} \right) + {b^2}\left( {1 + {c^2}} \right) + {c^2}\left( {1 + {a^2}} \right) \ge 6abc\]
f) \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}} \le \frac{{a + b + c}}{2}\] với a, b, c > 0
g) \[\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}\] vơi a, b, c > 0
a) \[\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right) \ge 8abc\]
b) \[\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 9abc\]
c) \[\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right) \ge {\left( {1 + \sqrt[3]{{abc}}} \right)^3}\]
d) \[\frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge a + b + c\] với a, b, c > 0
e) \[{a^2}\left( {1 + {b^2}} \right) + {b^2}\left( {1 + {c^2}} \right) + {c^2}\left( {1 + {a^2}} \right) \ge 6abc\]
f) \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}} \le \frac{{a + b + c}}{2}\] với a, b, c > 0
g) \[\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}\] vơi a, b, c > 0
Các User đã xem: Lê Xuân Hồng11 Ngô Vũ Thanh Hoàng29 Phạm Tiến Danh10 Nguyễn Phạm Hồng Trâm5 Bùi Gia Nhật Linh2
Lưu ý! Để tham gia bình luận bạn phải đăng kí thành viên và đăng nhập!
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
g) \[\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}\]
Ta có:
\[\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} = \left( {\frac{a}{{b + c}} + 1} \right) + \left( {\frac{b}{{a + c}} + 1} \right) + \left( {\frac{c}{{a + b}} + 1} \right) - 3\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {b + c} \right) + \left( {a + c} \right)} \right]\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{a + b}}} \right) - 3 \ge \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}\] (điều phải chứng minh)
NẾU BÀI LÀM CỦA MÌNH CÓ GÌ SAI SÓT THÌ MÌNH MONG THẦY VÀ CÁC BẠN GIÚP ĐỠ MÌNH THÊM
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
f) \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}} \le \frac{{a + b + c}}{2}\]
Ta có:
\[{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\] (khai triển vế trái theo hằng đẳng thức)
\[ \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \] (chuyển vế, đổi dấu) (21)
Ta có:
\[{\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow b - 2\sqrt {bc} + c \ge 0\] (khai triển vế trái theo hằng đẳng thức)
\[ \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \] (chuyển vế, đổi dấu) (22)
Ta có:
\[{\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ac} + c \ge 0\] (khai triển vế trái theo hằng đẳng thức)
\[ \Leftrightarrow a + c \ge 2\sqrt {ac} \] (chuyển vế, đổi dấu) (23)
Từ (21), (22), (23), ta có:
\[\frac{{ab}}{{a + b}} \le \frac{{ab}}{{2\sqrt {ab} }} = \frac{{\sqrt {ab} }}{2}\] (24)
\[\frac{{bc}}{{b + c}} \le \frac{{bc}}{{2\sqrt {bc} }} = \frac{{\sqrt {bc} }}{2}\] (25)
\[\frac{{ac}}{{a + c}} \le \frac{{ac}}{{2\sqrt {ac} }} = \frac{{\sqrt {ac} }}{2}\] (26)
Từ (24), (25), (26), ta có:
\[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}} \le \frac{{\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ac} }}{2}\] (cộng vế với vế)
\[ \Leftrightarrow \frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}} \le \frac{{a + b + c}}{2}\] ( \[\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ac} = a + b + c\]) (điều phải chứng minh)
NẾU BÀI LÀM CỦA MÌNH CÓ GÌ SAI SÓT THÌ MÌNH MONG THẦY VÀ CÁC BẠN GIÚP ĐỠ MÌNH THÊM
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
e) \[{a^2}\left( {1 + {b^2}} \right) + {b^2}\left( {1 + {c^2}} \right) + {c^2}\left( {1 + {a^2}} \right) \ge 6abc\]
Ta có:
\[\frac{{{a^2} + {{\left( {ab} \right)}^2}}}{2} \ge \sqrt {{a^4}{b^2}} \] (bất đẳng thức Cauchy)
\[ \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {{\left( {ab} \right)}^2}}}{2} \ge \sqrt {{{\left( {{a^2}b} \right)}^2}} \] (khai triển vế phải)
\[ \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {{\left( {ab} \right)}^2}}}{2} \ge {a^2}b\] (rút gọn vế phải)
\[ \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {ab} \right)^2} \ge 2{a^2}b\] (nhân hai vế cho 2) (12)
Ta có:
\[\frac{{{b^2} + {{\left( {bc} \right)}^2}}}{2} \ge \sqrt {{b^4}{c^2}} \] (bất đẳng thức Cauchy)
\[ \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {{\left( {bc} \right)}^2}}}{2} \ge \sqrt {{{\left( {{b^2}c} \right)}^2}} \] (khai triển vế phải)
\[ \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {{\left( {bc} \right)}^2}}}{2} \ge {b^2}c\] (rút gọn vế phải)
\[ \Leftrightarrow {b^2} + {\left( {bc} \right)^2} \ge 2{b^2}c\] (nhân hai vế cho 2) (13)
Ta có:
\[\frac{{{c^2} + {{\left( {ac} \right)}^2}}}{2} \ge \sqrt {{a^2}{c^4}} \] (bất đẳng thức Cauchy)
\[ \Leftrightarrow \frac{{{c^2} + {{\left( {ac} \right)}^2}}}{2} \ge \sqrt {{{\left( {a{c^2}} \right)}^2}} \] (khai triển vế phải)
\[ \Leftrightarrow \frac{{{c^2} + {{\left( {ac} \right)}^2}}}{2} \ge a{c^2}\] (rút gọn vế phải)
\[ \Leftrightarrow {c^2} + {\left( {ac} \right)^2} \ge 2a{c^2}\] (nhân hai vế cho 2) (14)
Ta có:
\[{a^2}\left( {1 + {b^2}} \right) = {a^2} + {\left( {ab} \right)^2}\] (nhân phân phối) (15)
\[{b^2}\left( {1 + {c^2}} \right) = {b^2} + {\left( {bc} \right)^2}\] (nhân phân phối) (16)
\[{c^2}\left( {1 + {a^2}} \right) = {c^2} + {\left( {ac} \right)^2}\] (nhân phân phối) (17)
Từ (12), (13), (14), (15), (16), (17), ta có:
\[{a^2}\left( {1 + {b^2}} \right) + {b^2}\left( {1 + {c^2}} \right) + {c^2}\left( {1 + {a^2}} \right) \ge 2{a^2}b + 2{b^2}c + 2a{c^2}\] (18)
Ta có:
\[2{a^2}b + 2{b^2}c + 2a{c^2} = 2\left( {{a^2}b + {b^2}c + a{c^2}} \right)\] (phân tích thành nhân tử) (19)
Ta có:
\[\frac{{{a^2}b + {b^2}c + a{c^2}}}{3} \ge \sqrt[3]{{a{a^2}b{b^2}c{c^2}}}\] (bất đẳng thức Cauchy)
\[ \Leftrightarrow \frac{{{a^2}b + {b^2}c + a{c^2}}}{3} \ge \sqrt[3]{{{a^3}{b^3}{c^3}}}\] (rút gọn vế phải)
\[ \Leftrightarrow \frac{{{a^2}b + {b^2}c + a{c^2}}}{3} \ge abc\] (rút gọn vế phải)
\[ \Leftrightarrow {a^2}b + {b^2}c + a{c^2} \ge 3abc\] (nhân hai vế cho 3)
\[ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2}b + {b^2}c + a{c^2}} \right) \ge 6abc\] (nhân hai vế cho 2) (20)
Từ (18), (19), (20), ta có:
\[{a^2}\left( {1 + {b^2}} \right) + {b^2}\left( {1 + {c^2}} \right) + {c^2}\left( {1 + {a^2}} \right) \ge 2\left( {{a^2}b + {b^2}c + a{c^2}} \right) \ge 6abc\]
\[ \Leftrightarrow {a^2}\left( {1 + {b^2}} \right) + {b^2}\left( {1 + {c^2}} \right) + {c^2}\left( {1 + {a^2}} \right) \ge 6abc\] (điều phải chứng minh)
NẾU BÀI LÀM CỦA MÌNH CÓ GÌ SAI SÓT THÌ MÌNH MONG THẦY VÀ CÁC BẠN GIÚP ĐỠ MÌNH THÊM
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
d) \[\frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge a + b + c\] với \[a,b,c > 0\]
Ta có:
\[\frac{{\frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b}}}{2} \ge \sqrt {\frac{{ab{c^2}}}{{ab}}} \] (bất đẳng thức Cauchy)
\[ \Leftrightarrow \frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b} \ge 2\sqrt {\frac{{ab{c^2}}}{{ab}}} \] (nhân hai vế cho 2)
\[ \Leftrightarrow \frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b} \ge 2\sqrt {{c^2}} \] (rút gọn vế phải)
\[ \Leftrightarrow \frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b} \ge 2c\] (rút gọn vế phải) (9)
Ta có:
\[\frac{{\frac{{ac}}{b} + \frac{{ab}}{c}}}{2} \ge \sqrt {\frac{{{a^2}bc}}{{bc}}} \] (bất đẳng thức Cauchy)
\[ \Leftrightarrow \frac{{ac}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}bc}}{{bc}}} \] (nhân hai vế cho 2)
\[ \Leftrightarrow \frac{{ac}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge 2\sqrt {{a^2}} \] (rút gọn vế phải)
\[ \Leftrightarrow \frac{{ac}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge 2a\] (rút gọn vế phải) (10)
Ta có:
\[\frac{{\frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a}}}{2} \ge \sqrt {\frac{{a{b^2}c}}{{ac}}} \] (bất đẳng thức Cauchy)
\[ \Leftrightarrow \frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} \ge 2\sqrt {\frac{{a{b^2}c}}{{ac}}} \] (nhân hai vế cho 2)
\[ \Leftrightarrow \frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} \ge 2\sqrt {{b^2}} \] (rút gọn vế phải)
\[ \Leftrightarrow \frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} \ge 2b\] (rút gọn vế phải) (11)
Từ (9), (10), (11), ta có:
\[\frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b} + \frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge 2a + 2b + 2c\] (cộng vế theo vế)
\[ \Leftrightarrow 2\left( {\frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b} + \frac{{ab}}{c}} \right) \ge 2\left( {a + b + c} \right)\] (phân tích hai vế thành nhân tử)
\[ \Leftrightarrow \frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge a + b + c\] (rút gọn hai vế cho 2) (điều phải chứng minh)
NẾU BÀI LÀM CỦA MÌNH CÓ GÌ SAI SÓT THÌ MÌNH MONG THẦY VÀ CÁC BẠN GIÚP ĐỠ MÌNH THÊM
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
c) \[\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right) \ge {\left( {1 + \sqrt[3]{{abc}}} \right)^3}\]
Ta có:
\[\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right) = 1 + a + b + c + ab + ac + bc + abc\] (khai triển tích thành tổng) (6)
Ta có:
\[\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\] (bất đẳng thức Cauchy)
\[ \Leftrightarrow a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\] (nhân hai vế cho 3) (7)
Ta có:
\[\frac{{ab + bc + ac}}{3} \ge \sqrt[3]{{abbcac}}\] (bất đẳng thức Cauchy)
\[ \Leftrightarrow a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\] (nhân hai vế cho 3, rút gọn vế phải) (8)
Từ (6), (7), (8), ta có:
\[\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right) \ge 1 + 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} + 3\sqrt[3]{{abc}} + abc\] (cộng vế theo vế)
\[ \Leftrightarrow \left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right) \ge {\left( {1 + \sqrt[3]{{abc}}} \right)^3}\] (phân tiích vế phải theo hằng đẳng thức) (điều phải chứng minh)
NẾU BÀI LÀM CỦA MÌNH CÓ GÌ SAI SÓT THÌ MÌNH MONG THẦY VÀ CÁC BẠN GIÚP ĐỠ MÌNH THÊM
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
b) \[\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 9abc\]
Ta có:
\[\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\] (bất đẳng thức Cauchy)
\[ \Leftrightarrow a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\] (nhân hai vế cho 3) (4)
Ta có:
\[\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} \ge \sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\] (bất đẳng thức Cauchy)
\[ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\] (nhân hai vế cho 3) (5)
Từ (4), (5), ta có:
\[\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 9abc\] (nhân vế với vế) (điều phải chứng minh)
NẾU BÀI LÀM CỦA MÌNH CÓ GÌ SAI SÓT THÌ MÌNH MONG THẦY VÀ CÁC BẠN GIÚP ĐỠ MÌNH THÊM
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
a) \[\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right) \ge 8abc\]
Ta có:
\[{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\] (khai triển hằng đẳng thức vế trái)
\[ \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \] (chuyển vế, đổi dấu) (1)
Ta có:
\[{\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow b - 2\sqrt {bc} + c \ge 0\] (khai triển hằng đẳng thức vế trái)
\[ \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \] (chuyển vế, đổi dấu) (2)
Ta có:
\[{\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ac} + c \ge 0\] (khai triển hằng đẳng thức vế trái)
\[ \Leftrightarrow a + c \ge 2\sqrt {ac} \] (chuyển vế, đổi dấu) (3)
Từ (1), (2), (3), ta có:
\[\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right) \ge 8abc\] (nhân vế với vế) (điều phải chứng minh)
NẾU BÀI LÀM CỦA MÌNH CÓ GÌ SAI SÓT THÌ MÌNH MONG THẦY VÀ CÁC BẠN GIÚP ĐỠ MÌNH THÊM
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét