Nếu 2 ô bên dưới quá nhỏ, hãy kéo và thả chúng lên đây!
2)a, b lẻ không chia hết cho 3. Chứng minh a2 – b2 chia hết cho 24
3)Chứng minh rằng ax2 + bx + c là số nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 2a, $a + b$ và c là số nguyên
Gợi ý: cần chứng minh 2 chiều:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\forall x \in Z} \\
{a{x^2} + bc + c\, \in Z} \\
\end{array}} \right. \Rightarrow 2a,\,a + b,\,c\, \in \,Z\]
Và:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\forall x \in Z} \\
{2a,\,a + b,\,c\, \in \,Z} \\
\end{array}} \right. \Rightarrow a{x^2} + bc + c\, \in Z\]
Thì khi đó ta có: \[2a,\,a + b,\,c\, \in \,Z\, \Leftrightarrow \,a{x^2} + bc + c\, \in Z\,(\forall x \in Z)\]
4)Chứng minh rằng $\frac{{{n^5}}}{5} + \frac{{{n^3}}}{3} + \frac{{7n}}{{15}}$ Nguyên với mọi n nguyên.
Gợi ý: Dễ dàng chứng minh: $({n^5} - n) \vdots 5$ và $({n^3} - n) \vdots 3$
5)Chứng minh rằng: Có thể tìm được một số có dạng 20052005…200500…0 và chia hết cho 2006
HD: Lấy 2006 số: 2005; 20052005; … ; 2005…2005 chia cho 2006 và vận dụng nguyên lý Dirichlet
6)Chứng minh rằng có thể tìm được 2 lũy thừa khác nhau của số 4 mà chúng có 3 chữ số tận cùng giống nhau
HD: Lấy 1001 số 4,42, 43, ... , 41001 chia cho 1000 và vận dụng Dirichlet.
2)a2 – b2 = a2 – 1 – ( b2 – 1 )= ( a – 1 )( a + 1 ) – ( b – 1 )( b + 1 ). Vì a, b lẻ nên a – 1, a + 1, b – 1, b + 1 chẵn2. Tiếp tục CM tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. suy ra a2 – b2 chia hết cho 8
-Xét các trường hợp không chia hết cho 3:
a = 3k $ \pm $ 1 và b = 3l $ \pm $ 1; k,l $ \in $ Z và chứng minh chúng chia hết cho 3.
3)
Phần thuận:
Vì x nguyên và ax2 + bx + c nguyên nê:
-Cho x = 0 $ \Rightarrow y = c$ là số nguyên
- Cho x = 1 $ \Rightarrow y = a + b + c$ nguyên , mà c nguyên $ \Rightarrow a + b$ nguyên
-Cho $x = - 1 \Rightarrow y = a - b + c$ nguyên. mà y = a + b + c nguyên nên:
$ \Rightarrow 2y = 2a + 2c \Rightarrow 2a = 2y - 2c$ Nguyên
Phần đảo:
y = ax2 + bx + c = $2a.\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} + \left( {a + b} \right)x + c$
Vì x(x – 1)là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên là số chẵn mà 2a, a + b, c là các số nguyên nên y là số nguyên với x nguyên
4)$\frac{{{n^5}}}{5} + \frac{{{n^3}}}{3} + \frac{{7n}}{{15}} = \frac{{{n^5}}}{5} + \frac{{{n^3}}}{3} + \frac{{15n}}{{15}} - \frac{{3n + 5n}}{{15}} = \frac{{{n^5} - n}}{5} + \frac{{{n^3} - n}}{3} + n$
5)Lấy 2006 số: 2005; 20052005; … ; 2005…2005 chia cho 2006. Vì đây là dãy các số lẻ nên không có số nào chia hết cho 2006. Do đó, dư trong phép chia các số này cho 2006 chỉ có thể là 1; 2; …; 2005. Vậy phải có 2 số có cùng số dư khi chia cho 2006, hiệu 2 số đó có dạng 20052005…200600…0
6)Lấy 1001 số 4,42, 43, ... , 41001 chia cho 1000 thì ít nhất trong 1001 phép chia này có 2 phép chia có cùng số dư theo nguyên tắc Dirichlet. Giả sử 2 số đó là 4k , 4l với $4 \le {4^k} \le {4^l} \le {4^{1001}}$ Ta có:
$\left( {{4^l} - {4^k}} \right) \vdots 1000 \Rightarrow {4^l}{\rm{ v\`a }}{{\rm{4}}^{\rm{k}}}$ có 2 chữ số tận cùng giống nhau vì hiệu của chúng phải tận cùng bằng 3 chữ số 0 mới chia hết cho 1000
Các User đã xem:
Nguyễn Ngọc Linh
lớp:8/5
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Nguyễn Ngọc Linh
Lấy 1001 số hạng $4;{4^2};{4^3};...;{4^{1001}}$chia cho 1000 có 1000 số dư từ 1 đến 999(vì lũy thừa của 4 không bao giờ có ít nhất 3 chữ số tận cùng là 0). Có 1000 phép chia nên theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 2 lũy thừa khác nhau của số 4 có cùng số dư khi chia cho 1000. (Phần còn lại thầy chỉ cho con)
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Nguyễn Ngọc Linh
lớp:8/5
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Nguyễn Ngọc Linh
Xét dãy số gồm 2006 số hạng sau: 2005;2005...20052005...2005
Chia tất cả số hạng của dãy cho 2006 có 2005 số dư từ 1 đến 2005. Có 2006 phép chia nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 2006.
Giả sử 2 số đó là:am và an $\left( {m,n \in N} \right)$;$1 \le m < n < 2006$
Với am=20052005...2005,an=20052005...2005
Ta có$\left( {am - an} \right) \vdots 2006$
Hay 20052005...200500...00 chia hết 2006
Vậy luôn tồn tại một số có dạng 20052005...200500...00 và chia hết cho 2006
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Nguyễn Ngọc Linh
lớp:8/5
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Nguyễn Ngọc Linh
$A = \frac{{{n^5}}}{5} + \frac{{{n^3}}}{3} + \frac{{7n}}{{15}} = \frac{{3{n^5} + 5{n^3} + 7n}}{{15}} = \frac{{3\left( {{n^5} - n} \right) + 5\left( {{n^3} - n} \right) + 15n}}{{15}}$
Có:
$\begin{array}{l}
{n^5} - n = \left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots 5\\
\Rightarrow 3\left( {{n^5} - n} \right) \vdots 15
\end{array}$
Lại có:
$\begin{array}{l}
{n^3} - n = \left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right) \vdots 3\\
\Rightarrow 5\left( {{n^3} - n} \right) \vdots 15
\end{array}$
Mà:
$\begin{array}{l}
15n \vdots 15\\
\Rightarrow \frac{{3\left( {{n^5} - n} \right) + 5\left( {{n^3} - n} \right) + 15n}}{{15}} \vdots 15
\end{array}$
Vậy A luôn nguyên với mọi n nguyên
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Nguyễn Ngọc Linh
lớp:8/5
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Nguyễn Ngọc Linh
Gọi 3 số nguyên liên tiếp là: a-1;a;a+1
Vậy tổng lập phương của chúng là: ${\left( {a - 1} \right)^3} + {a^3} + {\left( {a + 1} \right)^3} = 3\left( {{a^3} - a + 3a} \right)$
Có:
$\begin{array}{l}
{a^3} - a = a\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right) \vdots 3\\
\Rightarrow 3\left( {{a^3} - a + 3a} \right) \vdots 9
\end{array}$
Vậy tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Lê Khả Doanh
lớp:9
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Khả Doanh
Lấy 2006 số chia cho: 2005; 20052005;...;2005...2005 chia cho 2006. Vì đây là dãy các số lẻ nên không có số nào chia hết cho 2006 nên dư trong phép chia này từ 1 đến 2005. Có 2006 phép chia nhưng chỉ có 2005 số dư nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ có ít nhất có 2 số dư giống nhau. Giả sử 2 số đó là a và b thì hiệu hai số này có dạng 20052005...200600...0.
Vậy có thể tìm được một số có dạng 20052005…200500…0 và chia hết cho 2006.
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Lê Thị Lệ Hằng
lớp:9/5
Trường:THCS Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Thị Lệ Hằng
Vì: Các số dư nguyên khi chia cho 3 là 1và 2
Nên: bài toán chia làm 3 trường hợp:
+a,b cùng lẻ, cùng chia 3 dư 1
+a,b cùng lẻ, cùng chia 3 dư 2
+ a,b cùng lẻ, a chia 3 dư 1 và b chia 3 dư 2
Gọi n, m là thương của các phép chia:
*Với a,b cùng lẻ, cùng chia 3 dư 1
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b) \\
= \left[ {3n + 1 - (3m + 1)} \right]\left[ {3n + 1 + (3m + 1)} \right] \\
= 3(n - m)\left[ {3(n + m) + 2} \right] \\
\end{array}\]
( Chia hết cho 3)
**Với a,b cùng lẻ, cùng chia 3 dư 2
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b) \\
= 3(n - m)\left[ {3(n + m) + 4} \right] \\
\end{array}\]
( Chia hết cho 3)
***Với a,b cùng lẻ, a chia 3 dư 1 và b chia 3 dư 2
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b) \\
= 3\left[ {3(n - m) - 1} \right](n - m + 1) \\
\end{array}\]
( Chia hết cho 3)
Kết luận: Với a,b lẻ bất kì không chia hết cho 3 thì \[{a^2} - {b^2}\] luôn chia hết cho 3.
Lại có:
\[\begin{array}{l}
{a^2} - {b^2} = {a^2} - 1 - ({b^2} - 1) \\
= (a - 1)(a + 1) - (b - 1)(b + 1) \\
\\
\end{array}\]
Vì a, b lẻ nên \[(a - 1)\] và \[(a + 1)\] hay \[(b - 1)\] và \[(b + 1)\] là 2 số chẵn đồng thời cũng liên tiếp nhau.
Áp dụng nhận định : tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8, ta có:
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow (a - 1)(a + 1) \vdots 8 và (b - 1)(b + 1) \vdots 8
\Leftrightarrow \left[ {(a - 1)(a + 1) - (b - 1)(b + 1)} \right] \vdots 8 \\
\Leftrightarrow ({a^2} - {b^2}) \vdots 8 \\
\end{array}\]
Từ các phân tích ở trên, ta có kết luận:
Do 3 và 8 nguyên tố cùng nhau mà \[{a^2} - {b^2}\] lại cùng chia hết cho 3 và 8 nên \[{a^2} - {b^2}\] chia hết cho 24
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Lê Khả Doanh
lớp:9
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Khả Doanh
Có: $2n + 2,2n$ là hai số chẵn liên tiếp.
*Đặt $A = 2n(2n + 2)$
$ = 4n(n + 1)$
-Trường hợp 1: n chẵn thì n chia hết cho 2 thì 4n chia hết cho 8.
-Trường hợp 2: n lẻ thì n +1 chia hết cho 2 thì 4(n+1) chia hết cho 8
Vậy hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
Áp dụng vào bài, ta có:
${a^2} - {b^2} = (a - 1)(a + 1) - (b - 1)(b + 1)$
Ta có a, b lẻ nên $a - 1$, $a + 1$, $b - 1$, $b + 1$ là số chẵn
Mà hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8 (Cmt)
Vậy $(a - 1)(a + 1) - (b - 1)(b + 1)$ chia hết cho 8 (1)
* Ta có: ${a^2} - {b^2}$ chia hết cho 3 (2). Vì:
-Trường hợp 1: a, b chia 3 dư 1 thì a-b chia hết cho 3.
-Trường hợp 2: a, b chia 3 dư 2 thì a-b chia hết cho 3.
-Trường hợp 3: a chia 3 dư 1, b chia 3 dư 2 thì a+b chia hết cho 3. Và ngược lại.
Từ (1), (2) ta có ${a^2} - {b^2}$ chia hết cho 24 (vì 3; 8 nguyên tố cùng nhau)
Vậy ${a^2} - {b^2} \vdots 24$ khi a, b lẻ và không chia hết cho 3.
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Lê Khả Doanh
lớp:9
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Khả Doanh
Có: $\left( {n - 1} \right),n,\left( {n + 1} \right)$
Đặt $A = {\left( {n - 1} \right)^3} + {n^3} + {\left( {n + 1} \right)^3}$
$ = 3\left( {{n^3} + 2n} \right)$
$ = 3\left( {{n^3} - n + 3n} \right)$
$ = 3\left[ {\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right) + 3n} \right]$
Có:* ${\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)}$
Đây là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3
*$3n \vdots 3$
Vậy A chia hết cho 9.
Vậy tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Lê Thị Lệ Hằng
lớp:9/5
Trường:THCS Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Thị Lệ Hằng
* Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có:
+ 1 số chia hết cho 3
+1 số chia 3 dư 1
+1số chia 3 dư 2
Vậy tổng 3 số tự nhiên liên tiếp là:
=
Tương tự, ta có tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp là:
\[\begin{array}{l}
{(3n)^3} + {(3n + 1)^3} + {(3n + 2)^3} \\
= 54{n^3} + 18n +9\\
\end{array}\]
Chia hết cho 9 ( ĐPCM)
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Lê Khả Doanh
lớp:9
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Khả Doanh
Gọi $\frac{{{n^5}}}{5} + \frac{{{n^3}}}{3} + \frac{{7n}}{{15}}$ là B, ta được:
$B = \frac{{{n^5}}}{5} + \frac{{{n^3}}}{3} + \frac{{7n}}{{15}}$
$ = \frac{{3{n^5} + 5{n^3} + 7n}}{{15}}$
$ = \frac{{3\left( {{n^5} - n} \right) + 5\left( {{n^3} - n} \right) + 15n}}{{15}}$
Có: ${n^3} - n = \left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)$
Đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3
Có: ${n^5} - n = \left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)$
$ = \left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - 4 + 5} \right)$
$ = \left( {n - 2} \right)\left( {n + 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) + 5\left( {n + 1} \right)n\left( {n - 1} \right)(1)$
$*\left( {n - 2} \right)\left( {n + 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)$
Đây là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5
$*5\left( {n + 1} \right)n\left( {n - 1} \right) \vdots 5$
Vậy (1) chia hết cho 5
Có: ${3\left( {{n^5} - n} \right) \vdots 15}$
${5\left( {{n^3} - n} \right) \vdots 15}$
${15n \vdots 15}$
Vậy B luôn chia hết cho 15 với mọi n nguyên
Vậy $\frac{{{n^5}}}{5} + \frac{{{n^3}}}{3} + \frac{{7n}}{{15}}$ luôn nguyên với mọi n nguyên
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét