Nếu 2 ô bên dưới quá nhỏ, hãy kéo và thả chúng lên đây!
Bài tập 211: BÀI 4 TRANG 63
Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu \[\frac{a}{b} < 1\] thì \[\frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + c}}\] (1)
Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau
a) \[\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} < 2\]
b) \[1 < \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{a + c + d}} + \frac{d}{{a + b + d}} < 2\]
c) \[2 < \frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c + d}} + \frac{{c + d}}{{a + c + d}} + \frac{{a + d}}{{a + b + d}} < 3\]
Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau
a) \[\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} < 2\]
b) \[1 < \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{a + c + d}} + \frac{d}{{a + b + d}} < 2\]
c) \[2 < \frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c + d}} + \frac{{c + d}}{{a + c + d}} + \frac{{a + d}}{{a + b + d}} < 3\]
Các User đã xem: Ngô Vũ Thanh Hoàng11 Nguyễn Phạm Hồng Trâm4 Lê Xuân Hồng5 Phạm Tiến Danh3
Lưu ý! Để tham gia bình luận bạn phải đăng kí thành viên và đăng nhập!
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
Ta có:
\[\frac{{a + b}}{{a + b + c + d}} < \frac{{a + b}}{{a + b + c}}\] (tính chất phân số) (2)
\[\frac{{b + c}}{{a + b + c + d}} < \frac{{b + c}}{{b + c + d}}\] (tính chất phân số) (3)
\[\frac{{c + d}}{{a + b + c + d}} < \frac{{c + d}}{{a + c + d}}\] (tính chất phân số) (4)
\[\frac{{a + d}}{{a + b + c + d}} < \frac{{a + d}}{{a + b + d}}\] (tính chất phân số) (5)
Từ (2), (3), (4), (5), ta có:
\[\frac{{a + b}}{{a + b + c + d}} + \frac{{b + c}}{{a + b + c + d}} + \frac{{c + d}}{{a + b + c + d}} + \frac{{a + d}}{{a + b + c + d}} < \frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c + d}} + \frac{{c + d}}{{a + c + d}} + \frac{{a + d}}{{a + b + d}}\] (cộng vế với vế)
\[ \Leftrightarrow \frac{{a + b + b + c + c + d + a + d}}{{a + b + c + d}} < \frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c + d}} + \frac{{c + d}}{{a + c + d}} + \frac{{a + d}}{{a + b + d}}\] (rút gọn vế trái)
\[ \Leftrightarrow \frac{{2\left( {a + b + c + d} \right)}}{{a + b + c + d}} < \frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c + d}} + \frac{{c + d}}{{a + c + d}} + \frac{{a + d}}{{a + b + d}}\] (rút gọn vế trái)
\[ \Leftrightarrow 2 < \frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c + d}} + \frac{{c + d}}{{a + c + d}} + \frac{{a + d}}{{a + b + d}}\] (rút gọn vế trái) (6)
Ta có:
\[\frac{{a + b}}{{a + b + c}} < \frac{{a + b + d}}{{a + b + c + d}}\] (bất đẳng thức (1)) (7)
\[\frac{{b + c}}{{b + c + d}} < \frac{{a + b + c}}{{a + b + c + d}}\] (bất đẳng thức (1)) (8)
\[\frac{{c + d}}{{a + c + d}} < \frac{{b + c + d}}{{a + b + c + d}}\] (bất đẳng thức (1)) (9)
\[\frac{{a + d}}{{a + b + d}} < \frac{{a + c + d}}{{a + b + c + d}}\] (bất đẳng thức (1)) (10)
Từ (7), (8), (9), (10), ta có:
\[\frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c + d}} + \frac{{c + d}}{{a + c + d}} + \frac{{a + d}}{{a + b + d}} < \frac{{a + b + d}}{{a + b + c + d}} + \frac{{a + b + c}}{{a + b + c + d}} + \frac{{b + c + d}}{{a + b + c + d}} + \frac{{a + c + d}}{{a + b + c + d}}\] (cộng vế với vế)
\[ \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c + d}} + \frac{{c + d}}{{a + c + d}} + \frac{{a + d}}{{a + b + d}} < \frac{{a + b + d + a + b + c + b + c + d + a + c + d}}{{a + b + c + d}}\] (rút gọn vế phải)
\[ \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c + d}} + \frac{{c + d}}{{a + c + d}} + \frac{{a + d}}{{a + b + d}} < \frac{{3\left( {a + b + c + d} \right)}}{{a + b + c + d}}\] (rút gọn vế phải)
\[ \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c + d}} + \frac{{c + d}}{{a + c + d}} + \frac{{a + d}}{{a + b + d}} < 3\] (rút gọn vế phải) (11)
Từ (6), (11), ta có:
\[2 < \frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c + d}} + \frac{{c + d}}{{a + c + d}} + \frac{{a + d}}{{a + b + d}} < 3\] (điều phải chứng minh)
NẾU BÀI LÀM CỦA MÌNH CÓ GÌ SAI SÓT THÌ MÌNH MONG THẦY VÀ CÁC BẠN GIÚP ĐỠ MÌNH THÊM
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
Ta có:
\[\frac{a}{{a + b + c + d}} < \frac{a}{{a + b + c}}\] (tính chất phân số) (2)
\[\frac{b}{{a + b + c + d}} < \frac{b}{{b + c + d}}\] (tínhchất phân số) (3)
\[\frac{c}{{a + b + c + d}} < \frac{c}{{a + c + d}}\] (tính chất phân số) (4)
\[\frac{d}{{a + b + c + d}} < \frac{d}{{a + b + d}}\] (tính chất phân số) (5)
Từ (2), (3), (4), (5), ta có:
\[\frac{a}{{a + b + c + d}} + \frac{b}{{a + b + c + d}} + \frac{c}{{a + b + c + d}} + \frac{d}{{a + b + c + d}} < \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{a + c + d}} + \frac{d}{{a + b + d}}\] (cộng vế với vế)
\[ \Leftrightarrow \frac{{a + b + c + d}}{{a + b + c + d}} < \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{a + c + d}} + \frac{d}{{a + b + d}}\] (rút gọn vế trái)
\[ \Leftrightarrow 1 < \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{a + c + d}} + \frac{d}{{a + b + d}}\] (rút gọn vế trái) (6)
Từ (1), ta có:
\[\frac{a}{{a + b + c}} < \frac{{a + d}}{{a + b + c + d}}\] (7)
\[\frac{b}{{b + c + d}} < \frac{{a + b}}{{a + b + c + d}}\] (8)
\[\frac{c}{{a + c + d}} < \frac{{b + c}}{{a + b + c + d}}\] (9)
\[\frac{d}{{a + b + d}} < \frac{{c + d}}{{a + b + c + d}}\] (10)
Từ (7), (8), (9), (10), ta có:
\[\frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{a + c + d}} + \frac{d}{{a + b + d}} < \frac{{a + d}}{{a + b + c + d}} + \frac{{a + b}}{{a + b + c + d}} + \frac{{b + c}}{{a + b + c + d}} + \frac{{c + d}}{{a + b + c + d}}\] (cộng vế với vế)
\[ \Leftrightarrow \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{a + c + d}} + \frac{d}{{a + b + d}} < \frac{{a + d + a + b + b + c + c + d}}{{a + b + c + d}}\] (rút gọn vế phải)
\[ \Leftrightarrow \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{a + c + d}} + \frac{d}{{a + b + d}} < \frac{{2\left( {a + b + c + d} \right)}}{{a + b + c + d}}\] (rút gọn vế phải)
\[ \Leftrightarrow \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{a + c + d}} + \frac{d}{{a + b + d}} < 2\] (rút gọn vế phải) (11)
Từ (6), (11), ta có:
\[1 < \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{b + c + d}} + \frac{c}{{a + c + d}} + \frac{d}{{a + b + d}} < 2\] (điều phải chứng minh)
NẾU BÀI LÀM CỦA MÌNH CÓ GÌ SAI SÓT THÌ MÌNH MONG THẦY VÀ CÁC BẠN GIÚP ĐỠ MÌNH THÊM
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
Từ (1), ta có:
\[\frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}}\] (2)
\[\frac{b}{{b + c}} < \frac{{a + b}}{{a + b + c}}\] (3)
\[\frac{c}{{a + c}} < \frac{{b + c}}{{a + b + c}}\] (4)
Từ (2), (3), (4), ta có:
\[\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}} + \frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{a + b + c}}\] (cộng vế theo vế)
\[ \leftrightarrow \frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} < \frac{{a + c + a + b + b + c}}{{a + b + c}}\] (cộng các phân số ở vế phải)
\[ \leftrightarrow \frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} < \frac{{2a + 2b + 2c}}{{a + b + c}}\] (rút gọn vế phải)
\[ \leftrightarrow \frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} < \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b + c}}\] (rút gọn vế phải)
\[ \leftrightarrow \frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} < 2\] (rút gọn vế phải) (điều phải chứng minh)
NẾU BÀI LÀM CỦA MÌNH CÓ GÌ SAI SÓT THÌ MÌNH MONG THẦY VÀ CÁC BẠN GIÚP ĐỠ MÌNH THÊM
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
\[\frac{a}{b} < 1\] (giả thiết)
\[ \leftrightarrow a < b\] (2)
Giả sử:
\[\frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + c}}\]
\[ \leftrightarrow \frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}} < \frac{{b\left( {a + c} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}}\]
\[ \to a\left( {b + c} \right) < b\left( {a + c} \right)\]
\[ \leftrightarrow ab + ac < ab + bc\]
\[ \leftrightarrow ab + ac - ab - bc < 0\]
\[ \leftrightarrow ac - bc < 0\]
\[ \leftrightarrow c\left( {a - b} \right) < 0\]
Mà \[c > 0\] (giả thiết)
\[ \leftrightarrow a - b < 0\]
\[ \leftrightarrow a < b\] (3)
Từ (2), (3), ta có:
Nếu \[\frac{a}{b} < 1 \leftrightarrow \frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + c}}\] (điều phải chứng minh)
NẾU BÀI LÀM CỦA MÌNH CÓ GÌ SAI SÓT THÌ MÌNH MONG THẦY VÀ CÁC BẠN GIÚP ĐỠ MÌNH THÊM
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét