Nếu 2 ô bên dưới quá nhỏ, hãy kéo và thả chúng lên đây!
NGUYÊN LÝ ĐỒNG BẬC
-Các đa thức đại diện 3 biến bậc 1 là: a + b + c
-Các đa thức đại diện 3 biến bậc 2 là: $a^2 + b^2 + c^2$ ; ab + ac + bc
-Các đa thức đại diện 3 biến bậc 3 là: $a^3 + b^3 + c^3$ ; …
-Để so sánh các BĐT đồng bậc sử dụng Cauchy, nguyên lý chung là lấy vế phức tạp cộng thêm đa thức đồng bậc đại diện.
Kí hiệu:
$\sum\limits_{cyc} {} $ Tổng các hoán vị --- $\sum\limits_{sym} {} $ tổng đối xứng
Ví dụ: $\sum\limits_{cyc}^{} {{a^2}} b = {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a$
$\sum\limits_{sym}^{} {{a^2}} b = {a^2}b + {b^2}a + {b^2}c + {c^2}b + {c^2}a + {a^2}c$
CÁC VÍ DỤ
VD1: Chứng minh rằng: $\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} \ge a + b + c\,\,(\forall a,b,c > 0)$
Nhận xét: cả 2 vế đồng bậc 1 nên ta lấy vế trái cộng thêm vào biểuthức bậc 1.
Ta có: \[\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} + a + b + c = \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{a^2}}}{b} + b} \right)} \ge \sum\limits_{cyc} {2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{b}.b} } = \sum\limits_{cyc} {2a} = 2(a + b + c) \Rightarrow dpcm\]
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
VD2: Chứng minh rằng: $\frac{{{a^3}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^2}}} \ge a + b + c\,\,(\forall a,b,c > 0)$
Nhận xét: Cả 2 vế là các biểu thức đồng bậc 1 nên ta cộng vế phải với biểu thức bậc 1.
-Để ý rằng vì phải áp dụng cauchy nên mẫu phải triệt tiêu. Để mẫu triệt tiêu mà lại phải cộng thêm vào đa thức bậc 1 vậy ta cần phải có: b + b. Suy ra đa thức cộng thêm vào là 2(a+b+c)
\[\frac{{{a^3}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^2}}} + 2(a + b + c) = \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{a^3}}}{{{b^2}}} + b + b} \right)} \ge {\rm{ }}\sum\limits_{cyc} {3\sqrt[3]{{\frac{{{a^3}}}{{{b^2}}}bb}}} = \sum\limits_{cyc} {3a} = 3(a + b + c) \Rightarrow dpcm\]
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
VD3: Chứng minh rằng: $\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge ab + bc + ac\,\,(\forall a,b,c > 0)$
Nhận xét: Cả 2 vế là các biểu thức đồng bậc 2 nên ta cộng thêm vào biểu thức bậc 2
-Lưu ý: Ta không thể cộng thê đa thức a2 + b2 + c2 vì như thế không triệt tiêt mẫu
-Như vậy ta phải cộng thêm vào biểu thức bậc 2 có dạng ab + ac + bc có nghĩa là ta phải kết hợp ab với $\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{c^3}}}{a}$ từ đó ta cần phải có:\[2\left( {\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a}} \right) + ab + bc + ac = \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + bc} \right)} \ge \sum\limits_{cyc} {3\sqrt[3]{{\frac{{{a^3}}}{b}.\frac{{{b^3}}}{c}.bc}}} = \sum\limits_{cyc} {3ab} = 3(ab + ac + bc) \Rightarrow dpcm\]
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Chứng minh rằng:
1)$\frac{{{a^3}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^2}}} \ge \frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a}\,\,(\forall a,b,c > 0)$
2)$\frac{{{a^3}}}{{bc}} + \frac{{{b^3}}}{{ca}} + \frac{{{c^3}}}{{ab}} \ge a + b + c\,\,(\forall a,b,c > 0)$
3)$\frac{{{a^5}}}{{{b^3}}} + \frac{{{b^5}}}{{{c^3}}} + \frac{{{c^5}}}{{{a^3}}} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\,\,(\forall a,b,c > 0)$
Các User đã xem: Lê Xuân Hồng1