Nếu 2 ô bên dưới quá nhỏ, hãy kéo và thả chúng lên đây!
Bài tập 221: MỘT SỐ DẠNG HAY VÀ KHÓ RÚT GỌN BIỂU THỨC (TRANG 52)
Bài 01:
Cho \[A = \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } + \sqrt {x + 7 - 6\sqrt {x - 2} } \]
a) Rút gọn \[A\]
b) Tìm \[Min\left( A \right)\]
Bài 02:
a) Chứng minh \[\sqrt {3 - 4x} + \sqrt {4x + 1} \ge 2\forall x \in \left[ {\frac{{ - 1}}{4};\frac{3}{4}} \right]\]
b) Giải phương trình: \[\sqrt {3 - 4x} + \sqrt {4x + 1} = - 16{x^2} - 8x + 1\]
Cho \[A = \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } + \sqrt {x + 7 - 6\sqrt {x - 2} } \]
a) Rút gọn \[A\]
b) Tìm \[Min\left( A \right)\]
Bài 02:
a) Chứng minh \[\sqrt {3 - 4x} + \sqrt {4x + 1} \ge 2\forall x \in \left[ {\frac{{ - 1}}{4};\frac{3}{4}} \right]\]
b) Giải phương trình: \[\sqrt {3 - 4x} + \sqrt {4x + 1} = - 16{x^2} - 8x + 1\]
Bài 03:
Rút gọn biểu thức sau: \[Q = \frac{{\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } }}{{\sqrt {x - \sqrt {2x - 1} } - \sqrt {x - \sqrt {2x - 1} } }}\]
Bài 04:
Cho biểu thức \[A = \frac{{\sqrt {1 - \sqrt {1 - {x^2}} } \left[ {\sqrt {{{\left( {1 + x} \right)}^3}} + \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} } \right]}}{{2 - \sqrt {1 - {x^2}} }}\]
a) Rút gọn \[A\]
b) Tìm \[x\], biết \[A \ge \frac{1}{2}\]
Bài 05:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[B = \sqrt {1 + 4x + 4{x^2}} + \sqrt {4{x^2} - 12x + 9} \]
Bài 06:
Cho biểu thức: \[C = \left| {\frac{{x + y}}{2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {\frac{{x + y}}{2} + \sqrt {xy} } \right| - \left| {\frac{x}{3}} \right| - \left| {\frac{y}{3}} \right|\] biết \[xy \ge 0\]
a) Rút gọn \[C\]
b) Tìm \[x\], \[y\] biết \[C = \left| {\frac{x}{{2014}}} \right| + \left| {\frac{y}{{2014}}} \right|\]
Bài 07:
\[A = \left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }}} \right)\frac{2}{{\sqrt x + \sqrt y }} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right]:\frac{{\sqrt {{x^3}} + y\sqrt x + x\sqrt y + \sqrt {{y^3}} }}{{\sqrt {{x^3}y} + \sqrt {x{y^3}} }}\]
a) Rút gọn \[A\]
b) Biết \[xy = 16\]. Tìm giá trị của \[x\], \[y\] để \[A\] có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Bài 08:
Cho biểu thức: \[A = \sqrt {\frac{b}{a}} - \frac{{\sqrt {ab} - \sqrt {{a^2}} }}{a}\]
a) Tìm điều kiện đối với \[a\], \[b\] để \[A\] có nghĩa
b) Rút gọn \[A\]
Bài 09:
Cho \[P = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)\]
a) Rút gọn \[P\]
b) Tìm \[x\] để \[P = - 1\]
c) Tìm \[m\] để vơi mọi \[x > 9\] ta có \[m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1\]
Bài 10:
Cho \[A = \frac{{\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } }}{{\sqrt {x - 2} - 1}}\]
a) Tìm điều kiện cho \[A\]
b) Rút gọn \[A\]
c) Tính \[A\] khi \[x = 6\]
Bài 11:
Rút gọn biểu thức: \[A = \frac{{\sqrt {x - \sqrt {4\left( {x - 1} \right)} } + \sqrt {x + \sqrt {4\left( {x - 1} \right)} } }}{{\sqrt {{x^2} - 4\left( {x - 1} \right)} }}\]
Bài 12:
Rút gọn biểu thức: \[M = \frac{{\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \left( {\sqrt {{{\left( {1 + x} \right)}^3}} - \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} } \right)}}{{2 + \sqrt {1 - {x^2}} }}\]
Bài 13:
Rút gọn biểu thức:
a) \[A = \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x - 4} }}{{x - 2}}\]
b) \[B = \sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 2} - \sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + 2} \]
Bài 14:
Rút gọn: \[\sqrt {x + \sqrt {x + ... + \sqrt {x + \frac{{1 + \sqrt {4x + 1} }}{2}} } } \]
(\[n\] dấu căn)
Bài 15:
Tính tổng: \[A = \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }}\]
Bài 16:
Chứng minh rằng: \[x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} \in N\], \[\forall a \ge \frac{1}{8}\]
Bài 17:
Cho \[A = \frac{{\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } }}{{\sqrt {1 - \frac{8}{x} + \frac{{16}}{{{x^2}}}} }}\]
a) Rút gọn \[A\]
b) Tìm \[x \in Z\] để \[A \in Z\]
Bài 18:
a) Chứng minh với \[a\], \[b\], \[c\] khác \[0\] và \[a + b + c = 0\]
b) Rút gọn: \[A = \sqrt {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{5^2}}}} + ...\sqrt {1 + \frac{1}{{{{2006}^2}}} + \frac{1}{{{{2007}^2}}}} \]
Bài 19:
Rút gọn: \[A = \sqrt {a + b + c + 2\sqrt {ac + bc} } + \sqrt {a + b + c - 2\sqrt {ac + bc} } \]
Bài 20:
Cho: \[A = \frac{{2x - 3\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 2}}\] và \[B = \frac{{\sqrt {{x^3}} - \sqrt x + 2x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\]
a) Rút gọn \[A\] và \[B\]
b) Tìm \[x\] để \[A = B\]
Bài 21:
Cho: \[P = \frac{{3a + \sqrt {9a} - 3}}{{a + \sqrt a - 2}} - \frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a - 1}} + \frac{1}{{\sqrt a + 2}} - 1\]
a) Rút gọn \[P\]
b) Tìm \[a\] để \[\left| P \right| = 1\]
c) Tìm \[a \in N\] để \[P \in N\]
Bài 22:
\[A = \left( {\frac{{\sqrt {1 + x} }}{{\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} }} + \frac{{1 - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} - 1 + x}}} \right)\left( {\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} - 1} - \frac{1}{x}} \right)\]
a) Tìm điều kiện để \[A\] xác định
b) Rút gọn biểu thức \[A\]
c) Tính giá trị của \[A\] khi \[x = \frac{1}{2}\] hoặc \[x = - \frac{1}{2}\]
Bài 23:
Cho: \[A = \frac{{\sqrt {x - 2\sqrt {x + 3} + 4} }}{{\sqrt x - \sqrt {x - 3} - \sqrt {3x + {x^2}} + \sqrt {{x^2} - 9} }} - \frac{1}{{\sqrt x + \sqrt {x - 3} }}\]
a) Chứng minh \[A < 0\]
b) Tìm tất cả các giá trị \[x\] để \[A\] nguyên
Bài 24:
Cho biết: \[a\sqrt a + b\sqrt b + c\sqrt c = 3\sqrt {abc} \]. Tính giá trị của biểu thức \[P = \left( {1 + \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}} \right)\left( {1 + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt c }}} \right)\left( {1 + \frac{{\sqrt c }}{{\sqrt a }}} \right)\]
Rút gọn biểu thức sau: \[Q = \frac{{\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } }}{{\sqrt {x - \sqrt {2x - 1} } - \sqrt {x - \sqrt {2x - 1} } }}\]
Bài 04:
Cho biểu thức \[A = \frac{{\sqrt {1 - \sqrt {1 - {x^2}} } \left[ {\sqrt {{{\left( {1 + x} \right)}^3}} + \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} } \right]}}{{2 - \sqrt {1 - {x^2}} }}\]
a) Rút gọn \[A\]
b) Tìm \[x\], biết \[A \ge \frac{1}{2}\]
Bài 05:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[B = \sqrt {1 + 4x + 4{x^2}} + \sqrt {4{x^2} - 12x + 9} \]
Bài 06:
Cho biểu thức: \[C = \left| {\frac{{x + y}}{2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {\frac{{x + y}}{2} + \sqrt {xy} } \right| - \left| {\frac{x}{3}} \right| - \left| {\frac{y}{3}} \right|\] biết \[xy \ge 0\]
a) Rút gọn \[C\]
b) Tìm \[x\], \[y\] biết \[C = \left| {\frac{x}{{2014}}} \right| + \left| {\frac{y}{{2014}}} \right|\]
Bài 07:
\[A = \left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }}} \right)\frac{2}{{\sqrt x + \sqrt y }} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right]:\frac{{\sqrt {{x^3}} + y\sqrt x + x\sqrt y + \sqrt {{y^3}} }}{{\sqrt {{x^3}y} + \sqrt {x{y^3}} }}\]
a) Rút gọn \[A\]
b) Biết \[xy = 16\]. Tìm giá trị của \[x\], \[y\] để \[A\] có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Bài 08:
Cho biểu thức: \[A = \sqrt {\frac{b}{a}} - \frac{{\sqrt {ab} - \sqrt {{a^2}} }}{a}\]
a) Tìm điều kiện đối với \[a\], \[b\] để \[A\] có nghĩa
b) Rút gọn \[A\]
Bài 09:
Cho \[P = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)\]
a) Rút gọn \[P\]
b) Tìm \[x\] để \[P = - 1\]
c) Tìm \[m\] để vơi mọi \[x > 9\] ta có \[m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1\]
Bài 10:
Cho \[A = \frac{{\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } }}{{\sqrt {x - 2} - 1}}\]
a) Tìm điều kiện cho \[A\]
b) Rút gọn \[A\]
c) Tính \[A\] khi \[x = 6\]
Bài 11:
Rút gọn biểu thức: \[A = \frac{{\sqrt {x - \sqrt {4\left( {x - 1} \right)} } + \sqrt {x + \sqrt {4\left( {x - 1} \right)} } }}{{\sqrt {{x^2} - 4\left( {x - 1} \right)} }}\]
Bài 12:
Rút gọn biểu thức: \[M = \frac{{\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \left( {\sqrt {{{\left( {1 + x} \right)}^3}} - \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} } \right)}}{{2 + \sqrt {1 - {x^2}} }}\]
Bài 13:
Rút gọn biểu thức:
a) \[A = \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x - 4} }}{{x - 2}}\]
b) \[B = \sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 2} - \sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + 2} \]
Bài 14:
Rút gọn: \[\sqrt {x + \sqrt {x + ... + \sqrt {x + \frac{{1 + \sqrt {4x + 1} }}{2}} } } \]
(\[n\] dấu căn)
Bài 15:
Tính tổng: \[A = \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }}\]
Bài 16:
Chứng minh rằng: \[x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} \in N\], \[\forall a \ge \frac{1}{8}\]
Bài 17:
Cho \[A = \frac{{\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } }}{{\sqrt {1 - \frac{8}{x} + \frac{{16}}{{{x^2}}}} }}\]
a) Rút gọn \[A\]
b) Tìm \[x \in Z\] để \[A \in Z\]
Bài 18:
a) Chứng minh với \[a\], \[b\], \[c\] khác \[0\] và \[a + b + c = 0\]
b) Rút gọn: \[A = \sqrt {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{5^2}}}} + ...\sqrt {1 + \frac{1}{{{{2006}^2}}} + \frac{1}{{{{2007}^2}}}} \]
Bài 19:
Rút gọn: \[A = \sqrt {a + b + c + 2\sqrt {ac + bc} } + \sqrt {a + b + c - 2\sqrt {ac + bc} } \]
Bài 20:
Cho: \[A = \frac{{2x - 3\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 2}}\] và \[B = \frac{{\sqrt {{x^3}} - \sqrt x + 2x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\]
a) Rút gọn \[A\] và \[B\]
b) Tìm \[x\] để \[A = B\]
Bài 21:
Cho: \[P = \frac{{3a + \sqrt {9a} - 3}}{{a + \sqrt a - 2}} - \frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a - 1}} + \frac{1}{{\sqrt a + 2}} - 1\]
a) Rút gọn \[P\]
b) Tìm \[a\] để \[\left| P \right| = 1\]
c) Tìm \[a \in N\] để \[P \in N\]
Bài 22:
\[A = \left( {\frac{{\sqrt {1 + x} }}{{\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} }} + \frac{{1 - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} - 1 + x}}} \right)\left( {\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} - 1} - \frac{1}{x}} \right)\]
a) Tìm điều kiện để \[A\] xác định
b) Rút gọn biểu thức \[A\]
c) Tính giá trị của \[A\] khi \[x = \frac{1}{2}\] hoặc \[x = - \frac{1}{2}\]
Bài 23:
Cho: \[A = \frac{{\sqrt {x - 2\sqrt {x + 3} + 4} }}{{\sqrt x - \sqrt {x - 3} - \sqrt {3x + {x^2}} + \sqrt {{x^2} - 9} }} - \frac{1}{{\sqrt x + \sqrt {x - 3} }}\]
a) Chứng minh \[A < 0\]
b) Tìm tất cả các giá trị \[x\] để \[A\] nguyên
Bài 24:
Cho biết: \[a\sqrt a + b\sqrt b + c\sqrt c = 3\sqrt {abc} \]. Tính giá trị của biểu thức \[P = \left( {1 + \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}} \right)\left( {1 + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt c }}} \right)\left( {1 + \frac{{\sqrt c }}{{\sqrt a }}} \right)\]
Bài 1:
Lưu ý: \[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\] và bất đẳngthức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 02:
a) Bình phương vế trái (có thể đạt ẩn phụ cho vế trái)
b) Vế phải: \[ = - {\left( {4x + 1} \right)^2} + 2 \le 2\]; vế trái \[ \ge 2\] vậy phương trình tương đương với
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {3 - 4x} + \sqrt {4x + 1} = 2\\
- 16{x^2} - 8x + 1 = 2
\end{array} \right.\]
Áp dụng tính chất:
\[\left\{ \begin{array}{l}
A = B\\
A \ge m\\
B \le m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = m\\
B = m
\end{array} \right.\]
Bài 03:
\[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\]
Bài 04:
\[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\]
Bài 05:
Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 06:
Với \[ab \ge 0\] thì \[\left| {a + b} \right| = \left| a \right| + \left| b \right|\]
Bài 07:
a) \[A = \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{\sqrt {xy} }}\]
b) Áp dụng: \[\sqrt x + \sqrt y \ge 2\sqrt {\sqrt {xy} } \] và \[xy = 16\]
Bài 08:
a)
\[\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
b \ge 0\\
a > 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
b \le 0\\
a < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
b) Trong mỗi điều kiện câu a) đáp số lần lượt là: \[1\] và \[2\sqrt {\frac{b}{a}} - 1\]
Bài 09:
a) \[P = \frac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\]
b) \[x = \frac{9}{{16}}\]
c) Ta suy ra: \[x > \frac{1}{{4m - 1}}\]. Ta cần phải có: \[x > 9 \ge \frac{1}{{4m - 1}} \Leftrightarrow m \ge \frac{5}{{18}}\]
Bài 11:
Tìm điều kiện. Xét hai khoảng \[1 < x < 2\] và \[x > 2\]. Kết quả: \[A = \frac{2}{{1 - x}}\] và \[A = \frac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\]
Bài 12:
\[M = x\sqrt 2 \]
Lưu ý: \[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\] và bất đẳngthức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 02:
a) Bình phương vế trái (có thể đạt ẩn phụ cho vế trái)
b) Vế phải: \[ = - {\left( {4x + 1} \right)^2} + 2 \le 2\]; vế trái \[ \ge 2\] vậy phương trình tương đương với
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {3 - 4x} + \sqrt {4x + 1} = 2\\
- 16{x^2} - 8x + 1 = 2
\end{array} \right.\]
Áp dụng tính chất:
\[\left\{ \begin{array}{l}
A = B\\
A \ge m\\
B \le m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = m\\
B = m
\end{array} \right.\]
Bài 03:
\[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\]
Bài 04:
\[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\]
Bài 05:
Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 06:
Với \[ab \ge 0\] thì \[\left| {a + b} \right| = \left| a \right| + \left| b \right|\]
Bài 07:
a) \[A = \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{\sqrt {xy} }}\]
b) Áp dụng: \[\sqrt x + \sqrt y \ge 2\sqrt {\sqrt {xy} } \] và \[xy = 16\]
Bài 08:
a)
\[\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
b \ge 0\\
a > 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
b \le 0\\
a < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
b) Trong mỗi điều kiện câu a) đáp số lần lượt là: \[1\] và \[2\sqrt {\frac{b}{a}} - 1\]
Bài 09:
a) \[P = \frac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\]
b) \[x = \frac{9}{{16}}\]
c) Ta suy ra: \[x > \frac{1}{{4m - 1}}\]. Ta cần phải có: \[x > 9 \ge \frac{1}{{4m - 1}} \Leftrightarrow m \ge \frac{5}{{18}}\]
Bài 11:
Tìm điều kiện. Xét hai khoảng \[1 < x < 2\] và \[x > 2\]. Kết quả: \[A = \frac{2}{{1 - x}}\] và \[A = \frac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\]
Bài 12:
\[M = x\sqrt 2 \]
Các User đã xem: Nguyễn Phúc Thịnh1 Lê Xuân Hồng46 Nguyễn Mậu Trung Trọng4 Ngô Vũ Thanh Hoàng138 Nguyễn Phạm Hồng Trâm12 Lê Vũ Trúc Lâm9 Phạm Tiến Danh4
Lưu ý! Để tham gia bình luận bạn phải đăng kí thành viên và đăng nhập!
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
\[P = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)\]
*Điều kiện xác định:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt x \ge 0\\
2 + \sqrt x \ne 0\\
4 - x \ne 0\\
x - 2\sqrt x \ne 0\\
\sqrt x \ne 0\\
\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }} \ne 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
x \ne 4\\
\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) \ne 0\\
x \ne 0\\
\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{2}{{\sqrt x }} \ne 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne 4\\
\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} \ne 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne 4\\
\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} \ne 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne 4\\
\frac{{\sqrt x - 1 - 2\sqrt x + 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} \ne 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne 4\\
\frac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} \ne 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne 4\\
3 - \sqrt x \ne 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne 4\\
\sqrt x \ne 3
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne 4\\
x \ne {3^2}
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne 4\\
x \ne 9
\end{array} \right.\]
*Rút gọn \[P\]
\[P = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow P = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} + \frac{{8x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right]\]
\[ \Leftrightarrow P = \left[ {\frac{{8\sqrt x - 4x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} + \frac{{8x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right]\]
\[ \Leftrightarrow P = \frac{{8\sqrt x - 4x + 8x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}:\frac{{\sqrt x - 1 - 2\sqrt x + 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow P = \frac{{8\sqrt x + 4x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}:\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow P = \frac{{8\sqrt x + 4x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x - 3}}\]
\[ \Leftrightarrow P = \frac{{\sqrt x \left( {8\sqrt x + 4x} \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow P = \frac{{4x\left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow P = \frac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\]
Vậy \[P = \frac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\forall x \in \left\{ {x \in R\left| {x > 0;x \ne 4;x \ne 9} \right.} \right\}\]
*Tìm \[x\] để \[P = 1\]
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
P = \frac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\\
P = 1
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{4x}}{{\sqrt x - 3}} = 1\]
\[ \Leftrightarrow 4x = \sqrt x - 3 - 4x\]
\[ \Leftrightarrow - 4x + \sqrt x - 3 = 0\]
\[ \Leftrightarrow - \left[ {{{\left( {2\sqrt x } \right)}^2} - 2.2.\frac{1}{4}\sqrt x + {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2} + \frac{{47}}{{16}}} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow - {\left( {2\sqrt x - \frac{1}{4}} \right)^2} - \frac{{47}}{{16}} = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt x - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{47}}{{16}} = 0\]
\[ \Leftrightarrow x \in \emptyset \]
*Tìm \[m\] để với mọi \[x > 9\] ta có \[m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1\]
Thay \[P = \frac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\] vào \[m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1\]
\[ \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x - 3} \right)\frac{{4x}}{{\sqrt x - 3}} > x + 1\]
Ta có:
\[x > 9\]
\[ \Leftrightarrow 4xm > x + 1 > 9 + 1 = 10\]
\[ \Leftrightarrow 4xm > 10\]
\[ \Leftrightarrow 36m > 10\]
\[ \Leftrightarrow m > \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}\]
\[ \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1\forall \left\{ \begin{array}{l}
m \in \left\{ {m \in R\left| {m > \frac{5}{{18}}} \right.} \right\}\\
x \in \left\{ {x \in R\left| {x > 9} \right.} \right\}\\
P = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)
\end{array} \right.\]
Vậy
\[m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1\forall \left\{ \begin{array}{l}
m \in \left\{ {m \in R\left| {m > \frac{5}{{18}}} \right.} \right\}\\
x \in \left\{ {x \in R\left| {x > 9} \right.} \right\}\\
P = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)
\end{array} \right.\]
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
\[A = \frac{{\sqrt {1 - \sqrt {1 - {x^2}} } \left[ {\sqrt {{{\left( {1 + x} \right)}^3}} + \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} } \right]}}{{2 - \sqrt {1 - {x^2}} }}\]
Điều kiện xác định:
\[\left\{ \begin{array}{l}
1 - \sqrt {1 - {x^2}} \ge 0\\
1 + x \ge 0\\
1 - x \ge 0\\
2 - \sqrt {1 - {x^2}} \ne 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {1 - {x^2}} \le 1\\
x \ge - 1\\
x \le 1\\
\sqrt {1 - {x^2}} \ne 2
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - {x^2} \le 1\\
- 1 \le x \le 1\\
1 - {x^2} \ne 4
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} \ge 0}\\
{ - 1 \le x \le 1}\\
{{x^2} \ne - 3}
\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow - 1 < x \le 1\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\sqrt {\left( {1 - \sqrt {1 - {x^2}} } \right){{\left( {1 + x} \right)}^3}} + \sqrt {\left( {1 - \sqrt {1 - {x^2}} } \right){{\left( {1 - x} \right)}^3}} }}{{2 - \sqrt {1 - {x^2}} }}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\sqrt {\left( {2 - 2\sqrt {1 - {x^2}} } \right){{\left( {1 + x} \right)}^3}} + \sqrt {\left( {2 - 2\sqrt {1 - {x^2}} } \right){{\left( {1 - x} \right)}^3}} }}{{\sqrt 2 \left( {2 - \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\sqrt {\left[ {2 - 2\sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} } \right]{{\left( {1 + x} \right)}^3}} + \sqrt {\left[ {2 - 2\sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} } \right]{{\left( {1 - x} \right)}^3}} }}{{\sqrt 2 \left( {2 - \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\sqrt {\left[ {{{\left( {\sqrt {1 + x} } \right)}^2} - 2\sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} + {{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2}} \right]{{\left( {1 + x} \right)}^3}} + \sqrt {\left[ {{{\left( {\sqrt {1 + x} } \right)}^2} - 2\sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} + {{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2}} \right]{{\left( {1 - x} \right)}^3}} }}{{\sqrt 2 \left[ {2 - \sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} } \right]}}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\left| {\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} } \right|\left| {1 + x} \right|\sqrt {1 + x} + \left| {\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} } \right|\left| {1 - x} \right|\sqrt {1 - x} }}{{2\sqrt 2 - \sqrt {2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} }}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} } \right)\left( {1 + x} \right)\sqrt {1 + x} + \left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} } \right)\left( {1 - x} \right)\sqrt {1 - x} }}{{2\sqrt 2 - \sqrt {2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} }}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} } \right)\left[ {\sqrt {{{\left( {1 + x} \right)}^3}} + \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} } \right]}}{{2\sqrt 2 - \sqrt {2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} }}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} } \right)\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} } \right)\left[ {\left( {1 + x} \right) - \sqrt {1 - {x^2}} + \left( {1 - x} \right)} \right]}}{{2\sqrt 2 - \sqrt {2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} }}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\left( {1 + x - 1 + x} \right)\left( {2 - \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}}{{\sqrt 2 \left( {2 - \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow A = 2x\]
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
Rút gọn: \[Q = \frac{{\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } }}{{\sqrt {x + \sqrt {2x - 1} } - \sqrt {x - \sqrt {2x - 1} } }}\]
\[ \Leftrightarrow Q = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {x + \sqrt {2x - 1} } - \sqrt {x - \sqrt {2x - 1} } }}\]
\[ \Leftrightarrow Q = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\frac{{2x - 1}}{2} + \frac{{2\sqrt {2x - 1} }}{2} + \frac{1}{2}} - \sqrt {\frac{{2x - 1}}{2} - \frac{{2\sqrt {2x - 1} }}{2} + \frac{1}{2}} }}\]
\[ \Leftrightarrow Q = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt {2x - 1} + 1} \right)}^2}}}{2}} - \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt {2x - 1} + 1} \right)}^2}}}{2}} }}\]
\[ \Leftrightarrow Q = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} }}{{\frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {2x - 1} + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt 2 }} - \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {2x - 1} - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt 2 }}}}\]
*Điều kiện xác định:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 \ge 0\\
2x - 1 \ge 0\\
\frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {2x - 1} + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt 2 }} - \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {2x - 1} - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt 2 }} \ne 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \ne \frac{1}{2}
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow x \ge 1\]
\[ \Leftrightarrow Q = \frac{{\left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right|}}{{\frac{{\left| {\sqrt {2x - 1} + 1} \right| - \left| {\sqrt {2x - 1} - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}}}\]
*Xét trường hợp \[1 \le x < 2\]:
\[ \Leftrightarrow Q = \frac{{\sqrt {x - 1} + 1 - \sqrt {x - 1} + 1}}{{\frac{{\sqrt {2x - 1} + 1 - \sqrt {2x - 1} + 1}}{{\sqrt 2 }}}}\]
\[ \Leftrightarrow Q = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}\]
\[ \Leftrightarrow Q = \sqrt 2 \]
*Xét trường hợp \[2 \le x\]:
\[ \Leftrightarrow Q = \frac{{\sqrt {x - 1} + 1 + \sqrt {x - 1} - 1}}{{\frac{{\sqrt {2x - 1} + 1 - \sqrt {2x - 1} + 1}}{{\sqrt 2 }}}}\]
\[ \Leftrightarrow Q = \frac{{2\sqrt {x - 1} }}{{\frac{2}{{\sqrt 2 }}}}\]
\[ \Leftrightarrow Q = \sqrt {2x - 2} \]
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
\[A = \frac{{\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } }}{{\sqrt {x - 2} - 1}}\]
a) Tìm điều kiện cho \[A\]
b) Rút gọn \[A\]
c) Tính \[A\] khi \[x = 6\]
a) Tìm điều kiện cho \[A\]
Ta có:
\[A = \frac{{\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } }}{{\sqrt {x - 2} - 1}}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2} - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {x - 2} - 1}}\]
Điều kiện xác định:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x - 2 \ge 0\\
\sqrt {x - 2} - 1 \ne 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x \ne 3
\end{array} \right.\]
b) Rút gọn \[A\]
\[A = \frac{{\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } }}{{\sqrt {x - 2} - 1}}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2} - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {x - 2} - 1}}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\left| {\sqrt {x - 2} - 1} \right|}}{{\sqrt {x - 2} - 1}}\]
*Xét trường hợp \[2 \le x < 3\]:
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{1 - \sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x - 2} - 1}}\]
\[ \Leftrightarrow A = - \frac{{\sqrt {x - 2} - 1}}{{\sqrt {x - 2} - 1}} = - 1\]
*Xét trường hợp \[3 < x\]:
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\sqrt {x - 2} - 1}}{{\sqrt {x - 2} - 1}}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\sqrt {x - 2} - 1}}{{\sqrt {x - 2} - 1}} = 1\]
c) Tính \[A\] khi \[x = 6\]
Thay \[x = 6\] vào \[A\], ta có:
\[A = \frac{{\left| {\sqrt {6 - 2} - 1} \right|}}{{\sqrt {6 - 2} - 1}} = 1\]
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
\[A = \sqrt {\frac{b}{a}} - \frac{{\sqrt {ab} - \sqrt {{a^2}} }}{a}\]
a)Tìm điều kiện đối với \[a , b\] để \[A\] có nghĩa
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{b}{a} \ge 0\\
ab \ge 0\\
a \ne 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{b}{a} \ge 0\\
a \ne 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
ab \ge 0\\
a \ne 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
b) Rút gọn \[A\]
\[A = \sqrt {\frac{b}{a}} - \frac{{\sqrt {ab} - \sqrt {{a^2}} }}{a}\]
*Xét trường hợp \[a > 0\] và \[b \ge 0\]:
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a }} - \frac{{\sqrt {ab} - a}}{a}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\sqrt {ab} - \sqrt {ab} + a}}{a}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{a}{a}\]
\[ \Leftrightarrow A = 1\]
*Xét trường hợp \[a < 0\] và \[b \le 0\]:
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\sqrt {\left( { - b} \right)} }}{{\sqrt {\left( { - a} \right)} }} - \frac{{\sqrt {\left( { - a} \right)\left( { - b} \right)} + \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2}} }}{{ - \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2}} }}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\sqrt {\left( { - b} \right)} }}{{\sqrt {\left( { - a} \right)} }} - \frac{{\sqrt {\left( { - a} \right)\left( { - b} \right)} + \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2}} }}{{ - \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2}} }}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\sqrt {\left( { - b} \right)} }}{{\sqrt {\left( { - a} \right)} }} - \frac{{\sqrt {\left( { - a} \right)} \left[ {\sqrt {\left( { - b} \right)} + \sqrt {\left( { - a} \right)} } \right]}}{{ - \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2}} }}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\sqrt {\left( { - b} \right)} }}{{\sqrt {\left( { - a} \right)} }} + \frac{{\sqrt {\left( { - b} \right)} + \sqrt {\left( { - a} \right)} }}{{\sqrt {\left( { - a} \right)} }}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{\sqrt {\left( { - a} \right)} - 2\sqrt {\left( { - b} \right)} }}{{\sqrt {\left( { - a} \right)} }}\]
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
\[C = \left| {\frac{{x + y}}{2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {\frac{{x + y}}{2} - \sqrt {xy} } \right| - \left| {\frac{x}{3}} \right| - \left| {\frac{y}{3}} \right|\]
Điều kiện xác định:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
y \ge 0
\end{array} \right.\]
a) Rút gọn \[C\]
\[C = \left| {\frac{{x + y}}{2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {\frac{{x + y}}{2} - \sqrt {xy} } \right| - \left| {\frac{x}{3}} \right| - \left| {\frac{y}{3}} \right|\]
\[ \Leftrightarrow C = \left| {\frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{2}} \right| + \left| {\frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{2}} \right| - \left| {\frac{x}{3}} \right| - \left| {\frac{y}{3}} \right|\]
\[ \Leftrightarrow C = \frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{2} + \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{2} - \frac{x}{3} - \frac{y}{3}\]
\[ \Leftrightarrow C = \frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{2} - \frac{{x + y}}{3}\]
\[ \Leftrightarrow C = \frac{{x - 2\sqrt {xy} + y + x + 2\sqrt {xy} + y}}{2} - \frac{{x + y}}{3}\]
\[ \Leftrightarrow C = \frac{{2\left( {x + y} \right)}}{2} - \frac{{x + y}}{3}\]
\[ \Leftrightarrow C = \left( {x + y} \right) - \frac{{x + y}}{3}\]
\[ \Leftrightarrow C = \left( {x + y} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow C = \frac{2}{3}\left( {x + y} \right)\]
b) Tìm \[x , y\] biết \[C = \left| {\frac{x}{{2014}}} \right| + \left| {\frac{y}{{2014}}} \right|\]
Ta có:
\[C = \frac{2}{3}\left( {x + y} \right)\] (chứng minh câu a)
\[ \Leftrightarrow C = \frac{2}{3}\left( {x + y} \right) = \left| {\frac{x}{{2014}}} \right| + \left| {\frac{y}{{2014}}} \right|\]
\[ \Leftrightarrow C = \frac{2}{3}\left( {x + y} \right) = \frac{x}{{2014}} + \frac{y}{{2014}}\]
Mà \[\frac{2}{3} \ne \frac{1}{{2014}}\]
\[ \Leftrightarrow C = \frac{2}{3}\left( {x + y} \right) = \frac{1}{{2014}}\left( {x + y} \right) = 0\]
Vì:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{2}{3} \ne 0\\
\frac{1}{{2014}} \ne 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow x + y = 0\]
Mà
\[\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
y \ge 0
\end{array} \right.\] (điều kiện xác định câu a)
\[ \Leftrightarrow x = y = 0\]
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[B = \sqrt {1 + 4x + 4{x^2}} + \sqrt {4{x^2} - 12x + 9} \]
Ta có:
\[B = \sqrt {1 + 4x + 4{x^2}} + \sqrt {4{x^2} - 12x + 9} \]
\[ \Leftrightarrow B = \sqrt {{{\left( {1 + 2x} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2x - 3} \right)}^2}} \]
\[ \Leftrightarrow B = \left| {1 + 2x} \right| + \left| {2x - 3} \right|\]
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left| {1 + 2x} \right| \ge 0\forall x \in R\\
\left| {2x - 3} \right| \ge 0 \in \forall xR
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow B = \left| {1 + 2x} \right| + \left| {2x - 3} \right| \ge 0 \in \forall xR\]
\[ \Leftrightarrow Min\left( B \right) = \left| {1 + 2x} \right| + \left| {2x - 3} \right| = 0\] khi \[\left| {1 + 2x} \right| = \left| {2x - 3} \right| = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {1 + 2x} \right| = 0\\
\left| {2x - 3} \right| = 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 + 2x = 0\\
2x - 3 = 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - \frac{1}{2}\\
x = \frac{3}{2}
\end{array} \right.\]
Mà \[ - \frac{1}{2} \ne \frac{3}{2}\] nên đẳng thức không xảy ra
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
a) Chứng minh \[\sqrt {3 - 4x} + \sqrt {4x + 1} \ge 2\forall x \in \left[ { - \frac{1}{4};\frac{3}{4}} \right]\]
Điều kiện xác định:
\[\left\{ \begin{array}{l}
3 - 4x \ge 0\\
4x + 1 \ge 0
\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 \ge 4x\\
4x \ge - 1
\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{3}{4}\\
x \ge - \frac{1}{4}
\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow - \frac{1}{4} \le x \le \frac{3}{4}\]
\[ \Leftrightarrow 3 - 4x + 4x + 1 + 2\sqrt {3 - 4x} \sqrt {4x + 1} \ge 4\]
\[ \Leftrightarrow 4 + 2\sqrt {12x + 3 - 16{x^2} - 4x} \ge 4\]
\[ \Leftrightarrow 4 + 2\sqrt { - 16{x^2} + 8x + 3} \ge 4\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt { - 16{x^2} + 8x + 3} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow - 16{x^2} + 8x + 3 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow - \left( {16{x^2} - 8x - 3} \right) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow - \left[ {{{\left( {4x} \right)}^2} - 2.4x + 1 - 4} \right] \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow - \left[ {{{\left( {4x - 1} \right)}^2} - 4} \right] \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow - \left[ {{{\left( {4x - 1} \right)}^2} - {{\left( 2 \right)}^2}} \right] \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow - \left( {4x - 1 + 2} \right)\left( {4x - 1 - 2} \right) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow - \left( {4x + 1} \right)\left( {4x - 3} \right) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
4x + 1 \ge 0\\
4x - 3 \le 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
4x + 1 \le 0\\
4x - 3 \ge 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
4x \ge - 1\\
4x \le 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
4x \le - 1\\
4x \ge 3
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - \frac{1}{4}\\
x \le \frac{3}{4}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{3}{4}\\
x \le - \frac{1}{4}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - \frac{1}{4}\\
x \le \frac{3}{4}
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le x \le \frac{3}{4}\] (thỏa mãn điều kiện xác định) (điều phải chứng minh)
b) Giải phương trình \[\sqrt {3 - 4x} + \sqrt {4x + 1} = - 16{x^2} - 8x + 1\]
Ta có:
\[VP = - \left( {16{x^2} + 8x - 1} \right)\]
\[ \Leftrightarrow VP = - \left[ {{{\left( {4x} \right)}^2} + 2.4x + 1 - 2} \right]\]
\[ \Leftrightarrow VP = - {\left( {4x + 1} \right)^2} + 2\] (1)
Ta có:
\[{\left( {4x + 1} \right)^2} \ge 0\forall x \in R\]
\[ \Leftrightarrow - {\left( {4x + 1} \right)^2} \le 0\forall x \in R\]
\[ \Leftrightarrow - {\left( {4x + 1} \right)^2} + 2 \le 2\forall x \in R\] (2)
Thay (2) vào (1), ta có:
\[VP = - {\left( {4x + 1} \right)^2} + 2 \le 2\]
Mà \[\sqrt {3 - 4x} + \sqrt {4x + 1} \ge 2\] (chứng minh câu a)
\[ \Leftrightarrow \sqrt {3 - 4x} + \sqrt {4x + 1} = - 16{x^2} - 8x + 1 = 2\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {3 - 4x} + \sqrt {4x + 1} = 2\\
- 16{x^2} - 8x + 1 = 2
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- \left( {4x + 1} \right)\left( {4x - 3} \right) = 0\\
4x + 1 = 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
4x + 1 = 0\\
4x - 3 = 0
\end{array} \right.\\
4x + 1 = 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{1}{4}\\
x = \frac{3}{4}
\end{array} \right.\\
x = - \frac{1}{4}
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow x = - \frac{1}{4}\]
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
\[A = \left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }}} \right)\frac{2}{{\sqrt x + \sqrt y }} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right]:\left( {\frac{{\sqrt {{x^3}} + y\sqrt x + x\sqrt y + \sqrt {{y^3}} }}{{\sqrt {{x^3}y} + \sqrt {x{y^3}} }}} \right)\]
Điều kiện xác định:
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
y > 0
\end{array} \right.\]
a) Rút gọn \[A\]
\[A = \left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }}} \right)\frac{2}{{\sqrt x + \sqrt y }} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right]:\left( {\frac{{\sqrt {{x^3}} + y\sqrt x + x\sqrt y + \sqrt {{y^3}} }}{{\sqrt {{x^3}y} + \sqrt {x{y^3}} }}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow A = \left( {\frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{\sqrt {xy} }}\frac{2}{{\sqrt x + \sqrt y }} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\frac{{\sqrt {xy} \left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow A = \left( {\frac{2}{{\sqrt {xy} }} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\frac{{\sqrt {xy} }}{{x + y}}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{{xy}}\frac{{\sqrt {xy} }}{{x + y}}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{x + 2\sqrt {xy} + y}}{{\sqrt {xy} \left( {x + y} \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow A = \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^3}y} + \sqrt {x{y^3}} }}\]
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
Cho biểu thức: \[A = \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } + \sqrt {x + 7 - 6\sqrt {x - 2} } \]
a) Rút gọn \[A\]
b) Tìm \[Min\left( A \right)\]
\[A = \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } + \sqrt {x + 7 - 6\sqrt {x - 2} } \]
\[ \Leftrightarrow A = \sqrt {x - 2 - 2\sqrt {x - 2} + 1} + \sqrt {x - 2 - 2\sqrt {9\left( {x - 2} \right)} + 9} \]
\[ \Leftrightarrow A = \sqrt {{{\left[ {\left( {x - 2} \right) - 1} \right]}^2}} + \sqrt {{{\left[ {\left( {x - 2} \right) - 9} \right]}^2}} \]
\[ \Leftrightarrow A = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 11} \right)}^2}} \]
\[ \Leftrightarrow A = \left| {x - 3} \right| + \left| {x - 11} \right|\]
b)
Vì:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left| {x - 3} \right| \ge 0\\
\left| {x - 11} \right| \ge 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left| {x - 3} \right| + \left| {x - 11} \right| \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow A \ge 0\]
Đẳng thức xảy ra khi:
\[x - 3 = x - 11 = 0\]
Mà: \[x - 3 \ne x - 11\forall x \in R\]
\[ \Leftrightarrow A = \left| {x - 3} \right| + \left| {x - 11} \right| > 0\forall x \in R\]
Bài sửa:
a)
Điều kiện xác định:
\[\sqrt {x - 2} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow x \ge 2\]
\[A = \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } + \sqrt {x + 7 - 6\sqrt {x - 2} } \]
\[ \Leftrightarrow A = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2} } \right)}^2} - 2\sqrt {\left( {x - 2} \right).1} + {1^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2} } \right)}^2} - 2.3\sqrt {x - 2} + {3^2}} \]
\[ \Leftrightarrow A = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2} - 3} \right)}^2}} \]
\[ \Leftrightarrow A = \left| {\sqrt {x - 2} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 2} - 3} \right|\]
*Xét trường hợp \[x \ge 11\]:
\[ \Leftrightarrow A = \sqrt {x - 2} + 1 + \sqrt {x - 2} - 3\]
\[ \Leftrightarrow A = 2\sqrt {x - 2} - 2\]
*Xét trường hợp \[2 \le x < 11\]:
\[ \Leftrightarrow A = \sqrt {x - 2} + 1 - \sqrt {x - 2} + 3\]
\[ \Leftrightarrow A = 4\]
b)
*Xét trường hợp \[x \ge 11\]:
\[A = 2\sqrt {x - 2} + 2\]
\[A = 2\sqrt {x - 2} + 2 \ge 2\]
\[ \Leftrightarrow Min\left( A \right) = 2\] khi \[2\sqrt {x - 2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow x = 2\] (loại)
*Xét trường hợp \[2 \le x < 11\]:
\[A = 4\]
\[ \Leftrightarrow Min\left( A \right) = 4\forall x \in \left\{ {R\left| {2 \le x < 11} \right.} \right\}\] (nhận)
Vậy \[Min\left( A \right) = 4\] khi \[x \in \left\{ {R\left| {2 \le x < 11} \right.} \right\}\]
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
Tính \[P = \left( {1 + \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}} \right)\left( {1 + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt c }}} \right)\left( {1 + \frac{{\sqrt c }}{{\sqrt a }}} \right)\], biết \[a\sqrt a + b\sqrt b + c\sqrt c = 3\sqrt {abc} \]
\[P = \left( {1 + \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}} \right)\left( {1 + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt c }}} \right)\left( {1 + \frac{{\sqrt c }}{{\sqrt a }}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow a,b,c \ge 0\]
Ta có:
\[a\sqrt a + b\sqrt b + c\sqrt c = 3\sqrt {abc} \]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} + \sqrt {{c^3}} - 3\sqrt {abc} = 0\]
Đặt:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt a = x\\
\sqrt b = y\\
\sqrt c = y
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right) = 0\]
Mà \[x + y + z > 0\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {x - z} \right)^2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow x = y = z\]
Vì:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt a = x\\
\sqrt b = y\\
\sqrt c = y
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow P = \left( {1 + \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a }}} \right)\left( {1 + \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a }}} \right)\left( {1 + \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a }}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow P = {2^3} = 8\]
Do:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt a \ge 0\\
y = \sqrt b \ge 0\\
z = \sqrt c \ge 0
\end{array} \right.\]
\[\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c \ne 0\] (vì \[\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c \] là từng mẫu của P)
\[ \Leftrightarrow x + y + z > 0\]
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
Bài 15:
Tính tổng:
\[\frac{1}{{\sqrt 2 + 1}} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }}\]
\[ = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}} + \frac{{\sqrt 4 - \sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 4 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 4 - \sqrt 3 } \right)}} + ... + \frac{{\sqrt n - \sqrt {n - 1} }}{{\left( {\sqrt n + \sqrt {n - 1} } \right)\left( {\sqrt n - \sqrt {n - 1} } \right)}}\]
\[ = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{2 - 1}} + \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{3 - 2}} + \frac{{\sqrt 4 - \sqrt 3 }}{{4 - 3}} + ... + \frac{{\sqrt n - \sqrt {n - 1} }}{{n - \left( {n - 1} \right)}}\]
\[ = \left( {\sqrt 2 - 1} \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt n - \sqrt {n - 1} } \right)\]
\[ = \sqrt n - 1\]
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét