Tự học online

\[{7^n} - 1 = {7^1} - 1 = 7 - 1 = 6 \vdots 6\] 
(đúng)
Giả sử bài toán đúng với n=k (k nguyên dương), nghĩa là:

\[({7^k} - 1) \vdots 6\]
Để chứng minh bài toán đúng với n=k+1, ta chứng minh:

\[({7^{k + 1}} - 1) \vdots 6\]
Theo giả thuyết quy nạp, ta có:

\[{7^{k + 1}} - 1 = {7.7^k} - 1 = 7({7^k} - 1) + 6\]
( hoàn toàn chia hết cho 6)
Vậy: với mọi n nguyên dương, ta được:

\[({7^n} - 1) \vdots 6\]

2)Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \ge 5$, ta luôn có ${2^n} > {n^2}$ (1)
*Với $n = 5$ ta có:
${2^5} > {5^2} \Leftrightarrow 32 > 25$
Vậy (1) đúng với $n=5$.
*Giả sử bài toán đúng với $n=k$ ($k \in N*$, $k \ge 5$). Khi đó ta có:
${2^k} > {k^2}$
Xét $n=k+1$ ta có:
${2^{k + 1}} > {(k + 1)^2}$
$ \Leftrightarrow {2^k} + {2^k} > {k^2} + 2k + 1$
Ta có ${2^k} > {k^2}$ (giả thuyết quy nạp). (2)
Ta cần chứng minh ${2^k} > 2k + 1$ ($k \in N*$, $k \ge 5$).
*Với $k=5$ ta có:
${2^5} = 32 > 2.5 + 1 = 11$ (đúng).
Giả sử bài toán đúng với k = a ($a \ge 5,\,a \in N*$), ta có:
${2^a} > 2a + 1$
*Để chứng minh bài toán luôn đúng với k = a+1 ta chứng minh
${2^{a + 1}} > 2(a + 1) + 1$
Theo giả thuyết quy nạp ta có:
${2^a} > 2a + 1$
$ \Leftrightarrow {2.2^a} > 4a + 2$ $ = 2a + 3 + (2a - 1) > 2a + 3$
Vậy bài toán luôn đúng với $k \ge 5$
Vậy ${2^k} > 2k + 1$ luôn đúng với $k \ge 5$
Kết hợp với (2) ta được ${2^{k + 1}} > {(k + 1)^2}$ luôn đúng với n $ \ge 5$
Vậy ${2^{k + 1}} > {(k + 1)^2}$ luôn đúng với n $ \ge 5$

\[\begin{array}{l}
1.2.3 + 2.3.4 +...+ k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2)(k + 3) \\
= \frac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4)}}{4} \\
\\
\end{array}\]
Theo giả thuyết quy nạp ta có:

\[\begin{array}{l}
1.2.3 + 2.3.4 + ... + k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2)(k + 3) \\
= \frac{{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{4} + (k + 1)(k + 2)(k + 3) \\
= \frac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4)}}{4} \\
\\
\end{array}\]
Vậy bài toán đúng với mọi n nguyên dương

$\begin{array}{l}
1.2.3 + 2.3.4 + k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right) = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{4} + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\\
= \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right) + 4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{4} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\left( {k + 4} \right)}}{4}
\end{array}$
Vậy (2) đúng với n=k+1
Kết luận: Với $n \in {N^ * }$ ta có $1.2.3 + 2.3.4 + .... + n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{4}$

$\begin{array}{l}
{1^3} + {2^3} + {3^3} + {k^3} + {\left( {k + 1} \right)^3} = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4} + {\left( {k + 1} \right)^3}\left( {theo1 * } \right)\\
= \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2} + 4{{\left( {k + 1} \right)}^3}}}{4} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left[ {{k^2} + 4\left( {k + 1} \right)} \right]}}{4} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}
\end{array}$
Vậy (1) đúng với n=k+1
Kết luận: Với mọi $n \in {N^ * }$ ta có: ${1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}$