Nếu 2 ô bên dưới quá nhỏ, hãy kéo và thả chúng lên đây!
Bài tập 182: Một số bài tập về cực trị
1)Tìm giá trị dương nhỏ nhất của \[f(x) = \frac{{2{x^2} + 3}}{x}\]
2)Cho các số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[f(x,y,z) = {x^4} + {y^4} + {z^4}\] (HD: có thể áp dụng Bunnhiacopski)
3)Tìm GTLN, GTNN của $A = \frac{1}{{2 - \sqrt {3 - {x^2}} }}$
4)Biết rằng x + y + z = 1 và x, y, z dương. Tìm GTLN của $B = xyz\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)$
2)Cho các số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[f(x,y,z) = {x^4} + {y^4} + {z^4}\] (HD: có thể áp dụng Bunnhiacopski)
3)Tìm GTLN, GTNN của $A = \frac{1}{{2 - \sqrt {3 - {x^2}} }}$
4)Biết rằng x + y + z = 1 và x, y, z dương. Tìm GTLN của $B = xyz\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)$
1)Do f(x) > 0 nên x > 0. Ta có: \[f(x) = 2x + \frac{3}{x} \ge 2\sqrt {2x.\frac{3}{x}} = 2\sqrt 6 \]
2)Áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski ta có:
\[({1^2} + {1^2} + {1^2})({x^4} + {y^4} + {z^4}) \ge {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^2}\]
\[\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\left( {{y^2} + {z^2} + {x^2}} \right) \ge {(xy + yz + zx)^2}\]
\[ \Rightarrow 3\left( {{x^4} + {y^4} + {z^4}} \right) \ge {\left( {xy + yz + zx} \right)^2}\]
\[3f\left( {x,y,z} \right) \ge 16 \Rightarrow f\left( {x,y,z} \right) \ge \frac{{16}}{3}\]
3)Có: $0 \le \sqrt {3 - {x^2}} \le \sqrt 3 \Rightarrow 2 - \sqrt 3 \le 2 - \sqrt {3 - {x^2}} \le 2$
Vì $2 - \sqrt {3 - {x^2}} > 0$ nên
Từ đó suy ra: $MaxA = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} = 2 + \sqrt 3 $ và $MinA = \frac{1}{2}$
4)$B = xyz\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \le {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3}\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)$
$ = \frac{1}{{27}}\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \le \frac{1}{{27}}{\left( {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}{3}} \right)^3} = \frac{8}{{{{27}^2}}}$
2)Áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski ta có:
\[({1^2} + {1^2} + {1^2})({x^4} + {y^4} + {z^4}) \ge {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^2}\]
\[\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\left( {{y^2} + {z^2} + {x^2}} \right) \ge {(xy + yz + zx)^2}\]
\[ \Rightarrow 3\left( {{x^4} + {y^4} + {z^4}} \right) \ge {\left( {xy + yz + zx} \right)^2}\]
\[3f\left( {x,y,z} \right) \ge 16 \Rightarrow f\left( {x,y,z} \right) \ge \frac{{16}}{3}\]
3)Có: $0 \le \sqrt {3 - {x^2}} \le \sqrt 3 \Rightarrow 2 - \sqrt 3 \le 2 - \sqrt {3 - {x^2}} \le 2$
Vì $2 - \sqrt {3 - {x^2}} > 0$ nên
Từ đó suy ra: $MaxA = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} = 2 + \sqrt 3 $ và $MinA = \frac{1}{2}$
4)$B = xyz\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \le {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3}\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)$
$ = \frac{1}{{27}}\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \le \frac{1}{{27}}{\left( {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}{3}} \right)^3} = \frac{8}{{{{27}^2}}}$
Các User đã xem:
Lưu ý! Để tham gia bình luận bạn phải đăng kí thành viên và đăng nhập!
Lê Khả Doanh
lớp:9
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Khả Doanh
*Có: $\begin{array}{l}
{x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\left( 1 \right)
\end{array}$
Đẳng thức xảy ra khi $x = y$
*Có: ${y^2} + {z^2} \ge 2yz\left( 2 \right)$
Đẳng thức xảy ra khi $y = z$
*Có: ${x^2} + {z^2} \ge 2xz\left( 3 \right)$
Đẳng thức xảy ra khi $x = z$
Cộng (1), (2), (3) lại ta được:
$2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge 2\left( {xy + yz + xz} \right)$
$ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + yz + xz} \right)$
$ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {\left( {x + y + z} \right)^2}$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z
*Có: ${x^4} + {y^4} \ge 2{\left( {xy} \right)^2}\left( 4 \right)$
Đẳng thức xảy ra khi x=y
*Có: ${y^4} + {z^4} \ge 2{\left( {yz} \right)^2}\left( 5 \right)$
Đẳng thức xảy ra khi y=z
*Có: ${z^4} + {x^4} \ge 2{\left( {xz} \right)^2}\left( 6 \right)$
Đẳng thức xảy ra khix=z.
Cộng (4), (5), (6), ta được:
${x^4} + {y^4} + {z^4} \ge {\left( {xy} \right)^2} + {\left( {yz} \right)^2} + {\left( {xz} \right)^2}$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z.
*Có: $3\left[ {{{\left( {xy} \right)}^2} + {{\left( {yz} \right)}^2} + {{\left( {zx} \right)}^2}} \right] \ge {\left( {xy + yz + xz} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow 3\left[ {{{\left( {xy} \right)}^2} + {{\left( {yz} \right)}^2} + {{\left( {zx} \right)}^2}} \right] \ge 16$
$ \Leftrightarrow {\left( {xy} \right)^2} + {\left( {yz} \right)^2} + {\left( {zx} \right)^2} \ge \frac{{16}}{3}$
Mà ${x^4} + {y^4} + {z^4} \ge {\left( {xy} \right)^2} + {\left( {yz} \right)^2} + {\left( {xz} \right)^2}$
Nên ${x^4} + {y^4} + {z^4} \ge \frac{{16}}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$
Vậy Min $f\left( {x,y,z} \right) = \frac{{16}}{3}$ khi $x = y = z = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Lê Khả Doanh
lớp:9
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Khả Doanh
ĐK:$ - \sqrt 3 \le x \le \sqrt 3 $
*Tìm GTLN.
Có: $ - {x^2} \le 0\forall x$
$ \Rightarrow - {x^2} + 3 \le 3$
$ \Leftrightarrow \sqrt { - {x^2} + 3} \le \sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow - \sqrt { - {x^2} + 3} \ge - \sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow - \sqrt { - {x^2} + 3} + 2 \ge - \sqrt 3 + 2$
Có: $\left\{ \begin{array}{l}
- \sqrt 3 + 2 > 0 \Rightarrow - \sqrt { - {x^2} + 3} + 2 > 0\\
- \sqrt { - {x^2} + 3} + 2 \ge - \sqrt 3 + 2
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \frac{1}{{ - \sqrt { - {x^2} + 3} + 2}} \le \frac{1}{{ - \sqrt 3 + 2}} = 2 + \sqrt 3 $
Vậy Max $A = 2 + \sqrt 3 $ khi $x = 0$
*Tìm GTNN.
*Có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
2 - \sqrt { - {x^2} + 3} ;\\
2 > 0
\end{array}\\
{2 \ge 2 - \sqrt { - {x^2} + 3} }
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow \frac{1}{{2 - \sqrt { - {x^2} + 3} }} \ge \frac{1}{2}$
Vậy Min $A = \frac{1}{2}$ khi $x = \sqrt 3 $
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Lê Khả Doanh
lớp:9
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Khả Doanh
Có:
$\left. \begin{array}{l}
x + y = 1 - z\\
x + z = 1 - y\\
y + z = 1 - x
\end{array} \right\}\left( 1 \right)$
* Có: $x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}}\left( {cauchy} \right)$
$ \Leftrightarrow 1 \ge 3\sqrt[3]{{xyz}}$
$ \Leftrightarrow xyz \le \frac{1}{{27}}$
Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = \frac{1}{3}$
*Có:
$\left( {x + y} \right) + \left( {y + z} \right) + \left( {x + z} \right) \ge 3\sqrt[3]{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}(cauchy)$
$ \Leftrightarrow 2 \ge 3\sqrt[3]{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}$
$ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right) \le \frac{8}{{27}}$
Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = \frac{1}{3}$
*Có: $B = xyz\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right) \le \frac{1}{{27}}.\frac{8}{{27}} = \frac{8}{{729}}$
Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = \frac{1}{3}$
Vậy Max $B = \frac{8}{{729}}$ khi $x = y = z = \frac{1}{3}$
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Lê Khả Doanh
lớp:9
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Khả Doanh
ĐK: $x \ne 0$
Vì ta đang đi tìm giá trị dương nên x>0.
Đặt $\frac{{2{x^2} + 3}}{x}$ là $A$
Có: $A = \frac{{2{x^2} + 3}}{x} = 2x + \frac{3}{x}$
Áp dụng Cauchy ta được:
$2x + \frac{3}{x} \ge 2\sqrt {2x.\frac{3}{x}} $
$ \Leftrightarrow 2x + \frac{3}{x} \ge 2\sqrt 6 $
Đẳng thức xảy ra khi $2x = \frac{3}{x}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \sqrt {\frac{3}{2}} (nhận)\\
x = - \sqrt {\frac{3}{2}} (loại)
\end{array} \right.$
Vậy Min $A = 2\sqrt 6 $ khi $x = \sqrt {\frac{3}{2}} $
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét