Nếu 2 ô bên dưới quá nhỏ, hãy kéo và thả chúng lên đây!
Bài tập 214: BÀI 6 TRANG 67 (ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) \[y = \frac{x}{2} + \frac{{18}}{x}\]; \[x > 0\]
b) \[y = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}\]; \[x > 1\]
c) \[y = \frac{{3x}}{2} + \frac{1}{{x + 1}}\]; \[x > - 1\]
d) \[y = \frac{x}{3} + \frac{5}{{2x - 1}}\]; \[x > \frac{1}{2}\]
e) \[y = \frac{x}{{x - 1}} + \frac{5}{x}\]; \[0 < x < 1\]
f) \[y = \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}}}\]; \[x > 0\]
g) \[y = \frac{{{x^4} + 4x + 4}}{1}\]; \[x > 0\]
h) \[y = {x^2} + \frac{2}{{{x^3}}}\]; \[x > 0\]
a) \[y = \frac{x}{2} + \frac{{18}}{x}\]; \[x > 0\]
b) \[y = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}\]; \[x > 1\]
c) \[y = \frac{{3x}}{2} + \frac{1}{{x + 1}}\]; \[x > - 1\]
d) \[y = \frac{x}{3} + \frac{5}{{2x - 1}}\]; \[x > \frac{1}{2}\]
e) \[y = \frac{x}{{x - 1}} + \frac{5}{x}\]; \[0 < x < 1\]
f) \[y = \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}}}\]; \[x > 0\]
g) \[y = \frac{{{x^4} + 4x + 4}}{1}\]; \[x > 0\]
h) \[y = {x^2} + \frac{2}{{{x^3}}}\]; \[x > 0\]
Các User đã xem: Nguyễn Mậu Trung Trọng1 Nguyễn Phạm Hồng Trâm9 Ngô Vũ Thanh Hoàng35 Bùi Gia Nhật Linh5 Lê Xuân Hồng9 Phạm Tiến Danh5
Lưu ý! Để tham gia bình luận bạn phải đăng kí thành viên và đăng nhập!
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
Ta có:
\[x > 1\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} \ge 0\\
\frac{2}{{x - 1}} \ge 0
\end{array} \right.\]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\[\frac{{\frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}}}{2} \ge \sqrt {\frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}} \]
\[ \Leftrightarrow \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}} \]
\[ \Leftrightarrow \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{2.2}}{{\left( {x - 1} \right).2}} \ge 2\sqrt {\frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}} \]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x + 4}}{{2x - 2}} \ge 2\sqrt {\frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}} \]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x + 4}}{{4x - 4}} \ge \sqrt {\frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}} \]
\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x^2} - x + 4}}{{4x - 4}}} \right)^2} \ge \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{x^4} + {x^2} + 16 - 2{x^3} + 8{x^2} - 8x}}{{16{x^2} - 32x + 16}} \ge \frac{{{x^2} - x + 4}}{{2x - 2}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{x^4} - 2{x^3} + 8{x^2} - 8x + 16}}{{{{\left( {4x - 4} \right)}^2}}} - \frac{{{x^2} - x + 4}}{{2x - 2}} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{x^4} - 2{x^3} + 8{x^2} - 8x + 16}}{{4{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}} - \frac{{{x^2} - x + 4}}{{2x - 2}} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{x^4} - 2{x^3} + 8{x^2} - 8x + 16}}{{4{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}} - \frac{{4\left( {{x^2} - x + 4} \right)\left( {2x - 2} \right)}}{{4{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{x^4} - 2{x^3} + 8{x^2} - 8x + 16}}{{4{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}} - \frac{{\left( {4{x^2} - 4x + 16} \right)\left( {2x - 2} \right)}}{{4{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{x^4} - 2{x^3} + 8{x^2} - 8x + 16}}{{4{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}} - \frac{{8{x^3} - 16{x^2} + 40x - 32}}{{4{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{x^4} - 2{x^3} + 8{x^2} - 8x + 16 - 8{x^3} + 16{x^2} - 40x + 32}}{{4{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}} \ge 0\] (1)
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^4} - 2{x^3} + 8{x^2} - 8x + 16 - 8{x^3} + 16{x^2} - 40x + 32}}{{4{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}} \ge 0\\
x > 1
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow 4{\left( {2x - 2} \right)^2} > 0\] (2)
Từ (1), (2), ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^4} - 2{x^3} + 8{x^2} - 8x + 16 - 8{x^3} + 16{x^2} - 40x + 32}}{{4{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}} \ge 0\\
4{\left( {2x - 2} \right)^2} > 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow {x^4} - 10{x^3} + 24{x^2} - 48x + 48 \ge 0\]
PHẦN TIẾP THEO MÌNH CHƯA BIẾT LÀM. MONG THẦY VÀ CÁC BẠN GIÚP ĐỠ THÊM CHO MÌNH
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Ngô Vũ Thanh Hoàng
lớp:Chín 01
Trường:Trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Ngô Vũ Thanh Hoàng
\[\begin{array}{l}
y = \frac{x}{2} + \frac{{18}}{x}\\
\Leftrightarrow y = \frac{{{x^2}}}{{2x}} + \frac{{18.2}}{{2x}}\\
\Rightarrow y = {x^2} + 18.2\\
\Leftrightarrow y = {x^2} + 36 \ge 2\sqrt {36{x^2}} \\
\Leftrightarrow y = {x^2} + 36 \ge 12x\\
\Leftrightarrow y = {\left( {x - 6} \right)^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow Min\left( y \right) = x - 6 = 0\\
\Leftrightarrow Min\left( y \right) = 6
\end{array}\]
khi x=6
NẾU BÀI LÀM CỦA MÌNH CÓ GÌ SAI SÓT THÌ MÌNH MONG THẦY VÀ CÁC BẠN GIÚP ĐỠ MÌNH THÊM
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét