Tự học online

1)HD: \[{n^5} + {n^4} + 1 = ({n^2} + n + 1)({n^3} - n + 1)\]
2)\[{a^4} + 4{b^4} = {({a^2} + 2{b^2})^2} - {(2ab)^2} = ({a^2} + 2ab + 2{b^2})({a^2} - 2ab + 2{b^2})\]
Vì: \[{a^2} + 2ab + 2{b^2} > 1\]  nên \[{a^4} + 4{b^4}\]   là số nguyên tố thì  \[{a^2} + 2ab + 2{b^2}\]   là số nguyên tố và \[{a^2} - 2ab + 2{b^2} = 1\]
Mà: \[{a^2} - 2ab + 2{b^2} = 1 \Leftrightarrow {(a - b)^2} + {b^2} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 a - b = 0 \\
 {b^2} = 1 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 1\]

3)Xét 2 trường hợp p =2; 3 ta thấy p = 3 thỏa
Với p>3 khi đó ta phân tích: \[{2^p} + {p^2} = ({2^p} + 1) + ({p^2} - 1)\]
Với p lẻ và không chia hết cho 3 nên ta dễ dàng chứng minh: \[{2^p} + 1 \vdots 3\]   và \[{p^2} - 1 \vdots 3\]
Vậy \[{2^p} + {p^2} \vdots 3\]   nên \[{2^p} + {p^2}\]   là hợp số. Vậy p=3 là giá trị cần tìm
4)\[{n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + n + 7 = {({n^2} + n)^2} + {n^2} + n + 7 = {({n^2} + n + 2)^2} - 3{n^2} - 4n + 3\]
Vì \[n \ge 1\]   nên \[ - 3{n^2} - 4n + 3 < 0 \Rightarrow {({n^2} + n + 2)^2} - 3{n^2} - 4n + 3 < {({n^2} + n + 2)^2}\]
Và \[{n^2} + n + 7 > 0 \Rightarrow {({n^2} + n)^2} + {n^2} + n + 7 > {({n^2} + n)^2}\]
Từ đó ta suy ra: \[{({n^2} + n)^2} < {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + n + 7 < {({n^2} + n + 2)^2}\]
Do đó: \[{n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + n + 7\]   là số chính phương khi và chỉ khi \[{n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + n + 7 = {({n^2} + n + 1)^2}\]
\[ \Leftrightarrow {n^2} + n - 6 = 0 \Leftrightarrow n = 2\]

5)Vì \[\left[ {\frac{{2016}}{{224}}} \right] = 9\]   nên ta chia tam giác đều đã cho ra thành 9 tam giác đều mà mỗi tam giác có cạnh bằng 1. Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 1 tam giác có ít nhất 224 điểm  trong 2016 điểm đã cho: