Tự học online

Từ câu 2), ta có:
\[9({a^3} + {b^3} + {c^3}) \ge 3(a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2})\]
Ta cần chứng minh:
\[9({a^3} + {b^3} + {c^3}) \ge {\left( {a + b + c} \right)^3}\]
\[ \Leftrightarrow 8({a^3} + {b^3} + {c^3}) \ge 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right)\]
Giả sử:
\[3(a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2}) \ge {\left( {a + b + c} \right)^3}\]
\[ \Leftrightarrow 3({a^2} + {b^2} + {c^2}) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac\\
\Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac \ge 0
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\]
Đẳng  thức xảy ra  khi:

\[\left. \begin{array}{l}
a - b = 0\\
b - c = 0\\
a - c = 0
\end{array} \right\} \Leftrightarrow \left. \begin{array}{l}
a = b\\
b = c\\
a = c
\end{array} \right\} \Leftrightarrow a = b = c\]
NẾU BÀI LÀM CỦA MÌNH CÓ GÌ SAI SÓT THÌ MÌNH MONG THẦY VÀ CÁC BẠN GIÚP ĐỠ MÌNH THÊM

3) \[9({a^3} + {b^3} + {c^3}) \ge {(a + b + c)^3}\]
Mong thầy và các bạn hướng dẫn bài này giúp mình

2) \[3({a^3} + {b^3} + {c^3}) \ge (a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2})\]

\[ \Leftrightarrow 2{a^3} + 2{b^3} + 2{c^3} \ge (a{b^2} + b{a^2}) + (a{c^2} + c{a^2}) + (b{c^2} + {b^2}c)\]
Ta có:

\[{a^3} + {b^3} \ge ab(a + b)\] (1)

\[{b^3} + {c^3} \ge bc(c + b)\] (2)

\[{a^3} + {c^3} \ge ac(a + c)\] (3)
Cộng vế với vế của (1)(2)(3), ta được:

\[3({a^3} + {b^3} + {c^3}) \ge (a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2})\]

1) \[({a^3} + {b^3} + {c^3})(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \ge {(a + b + c)^2}\] (a, b, c > 0)

\[ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + (\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{a}) + (\frac{{{a^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a}) + (\frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{b}) \ge {(a + b + c)^2}\]

\[ \Leftrightarrow (\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{a}) + (\frac{{{a^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a}) + (\frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{b}) \ge 2ab + 2bc + 2ac\]

Với a, b, c > 0, áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
\[\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{a} \ge 2\sqrt {{a^2}{b^2}} = 2ab\] (1)
\[\frac{{{a^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge 2\sqrt {{c^2}{a^2}} = 2ac\] (2)
\[\frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{b} \ge 2\sqrt {{c^2}{b^2}} = 2bc\] (3)
Cộng vế với vế của (1)(2)(3), ta được:

\[({a^3} + {b^3} + {c^3})(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac = {(a + b + c)^2}\]