Tự học online

1)Giả sử không có 2 cạnh nào của tứ giác bằng nhau. Gọi độ dài các cạnh là a,b,c,d với a,b,c,d \[ \in {N^*}\]  và \[a > b > c > d\].
Vì tứ giác lồi nên ta có \[a < b + c + d < 3a \Rightarrow 2a < a + b + c + d < 4a\]  Mà  \[a + b + c + d \vdots a \Rightarrow a + b + c + d = 3a\]
Tương tự, ta đặt: \[a + b + c + d = mb;\,\,\,a + b + c + d = nc\,\,\,(m,n \in {N^*}) \Rightarrow 3a = mb = nc\]
Do \[a > b > c \Rightarrow n > m > 3 \Rightarrow m \ge 4;\,\,n \ge 5\]
Mặt khác, ta có: \[3(a + b + c + d) = 3a + mb + nc \ge 3a + 4b + 5c \Rightarrow \left( {b - d} \right) + 2\left( {c - d} \right) \le 0\]  (Vô lí)
Vậy có ít nhất hai cạnh của tứ giác bằng nhau.

2)Trích đề tuyển sinh lớp 10 ĐHSP TPHCM năm học 2014-2015:
Giả sử đặt tên các đỉnh của đa giác là: \[{A_1},{A_{2,}}{A_3},...,{A_{50}}\].
Tính tổng: \[({A_1}{A_2}{A_3}) + ({A_2}{A_3}{A_4}) + ... + ({A_{49}}{A_{50}}{A_1}) + ({A_{50}}{A_1}{A_2})\]
Tổng trên có 50 số hạng mà mỗi số hạng rơi vào một trong hai loại sau:
-Loại 1: Mỗi bộ có hai số 1 và một số 2
-Loại 2: Mỗi bỗ có một số 1 và hai số 2
Gọi a là số bộ loại 1 và b là số bộ loại 2. Ta suy ra:
-Trong bộ loại 1 có 2a số 1 và a số 2. Trong bộ loại 2 có b số 1 và 2b số 2.
Tổng số đỉnh bằng 1 trong cả 2 bộ là: 2a + b và tổng số đỉnh bằng 2 là: a + 2b. Tuy nhiên vì mỗi đỉnh xuất hiện 3 lần nên ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}
 2a + b = 60 \\
 a + 2b = 90 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 a = 10 \\
 b = 40 \\
 \end{array} \right.\]
-Mỗi tích của một số hạng thuộc bộ loại 1 là 1.1.2 = 2 và thuộc bộ loại 2 là 1.2.2 = 4
Vậy tổng cần tính là: 10.2+4.40 = 180