Tự học online

$\begin{array}{l}
B = \frac{4}{{3 + \sqrt 5 + \sqrt {2 + 2\sqrt 5 } }}\\
B = \frac{{4\left( {3 + \sqrt 5 - \sqrt {2 + 2\sqrt 5 } } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 + \sqrt {2 + 2\sqrt 5 } } \right)\left( {3 + \sqrt 5 - \sqrt {2 + 2\sqrt 5 } } \right)}}\\
B = \frac{{12 + 4\sqrt 5 - 4\sqrt {2 + 2\sqrt 5 } }}{{12 + 4\sqrt 5 }}\\
B = 1 - \frac{{4\sqrt {2 + 2\sqrt 5 } }}{{12 + 4\sqrt 5 }}\\
B = 1 - \frac{{\sqrt {2 + 2\sqrt 5 } }}{{3 + \sqrt 5 }}
\end{array}$

\[\begin{array}{l}
xy > 0 \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x,y \ne 0 \\
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x > 0 \\
y > 0 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
x < 0 \\
y < 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
Với:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x,y \ne 0 \\
x < 0 \\
y < 0 \\
\end{array} \right.\]
ta thu được b âm
Với:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x,y \ne 0 \\
x > 0 \\
y > 0 \\
\end{array} \right.\]
Ta thu được b dương
Vậy: b có 2 kết quả tùy thuộc vào các giá trị x,y
Ngược lại : a luôn dương
Giải

\[\begin{array}{l}
\Rightarrow {b^2} = {(x\sqrt {1 + {y^2}} + y\sqrt {1 + {x^2}} )^2} \\
= {x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2} + 2xy\sqrt {1 + {y^2}} .\sqrt {1 + {x^2}} \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{l}
\Rightarrow {a^2} = {(xy + \sqrt {(1 + {x^2})(1 + {y^2})} )^2} \\
= {x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2} + 2xy\sqrt {1 + {y^2}} .\sqrt {1 + {x^2}} \\
\\
\end{array}\]
Từ trên ta nhận thấy 

\[{a^2} = {b^2}\]
Mà như phần lập luận đã nói thì b có 2 giá trị điều này tương đương

\[\begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
a = b\_khi\left\{ \begin{array}{l}
x,y \ne 0 \\
\left\{ \begin{array}{l}
x > 0 \\
y > 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \\
a = - b\_khi\left\{ \begin{array}{l}
x,y \ne 0 \\
\left\{ \begin{array}{l}
x < 0 \\
y < 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \\
\\
\end{array}\]

$\begin{array}{l}
{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} + \frac{2}{{xy}} + \frac{2}{{yz}} + \frac{2}{{zx}} = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} + 2.\frac{{x + y + z}}{{xyz}} = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}\left( {x + y + z = 0} \right)\\
\Rightarrow \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2}} = \left| {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right|
\end{array}$
Suy ra: 
$\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}}  = \left| {\frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{c - a}}} \right|$
Mà a,b,c là số hữu tỉ 
$ \Rightarrow \left| {\frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{c - a}}} \right|$ là số hữu tỉ

\[\begin{array}{l}
A = x\sqrt {\frac{{(1 + {y^2})(1 + {z^2})}}{{1 + {x^2}}}} + y\sqrt {\frac{{(1 + {z^2})(1 + {x^2})}}{{1 + {y^2}}}} + z\sqrt {\frac{{(1 + {x^2})(1 + {y^2})}}{{1 + {z^2}}}} \\
= x\sqrt {\frac{{(xy + yz + zx + {y^2})(xy + yz + zx + {z^2})}}{{xy + yz + zx + {x^2}}}} + y\sqrt {\frac{{(xy + yz + zx + {z^2})(xy + yz + zx + {x^2})}}{{xy + yz + zx + {y^2}}}} + z\sqrt {\frac{{(xy + yz + zx + {x^2})(xy + yz + zx + {y^2})}}{{xy + yz + zx + {z^2}}}} \\
= x\sqrt {\frac{{(x + y)(z + x){{(y + z)}^2}}}{{(x + y)(z + x)}}} + y\sqrt {\frac{{(x + y){{(z + x)}^2}(y + z)}}{{(x + y)(z + y)}}} + z\sqrt {\frac{{{{(x + y)}^2}(z + x)(y + z)}}{{(x + z)(z + y)}}} \\
= x\sqrt {{{(y + z)}^2}} + y\sqrt {{{(z + x)}^2}} + z\sqrt {{{(x + y)}^2}} \\
\end{array}\]
Mà 

\[a,b,c > 0\]

\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow A = x(y + z) + y(z + x) + z(x + y) \\
= 2(xy + yz + zx) \\
= 2.1 \\
= 2 \\
\end{array}\]