Tự học online

4)Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 
$c)2{x^2} + 4x = 19 - 3{y^2}$
Giải
$2{x^2} + 4x = 19 - 3{y^2}$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + \frac{3}{2}{y^2} - \frac{{19}}{2} = 0$
Có: $\Delta  = 4 - 4\left( {\frac{3}{2}{y^2} - \frac{{19}}{2}} \right)$
$ =  - 6{y^2} + 22$
Vì phương trình phải có nghiệm nên $\Delta  =  - 6{y^2} + 22 \ge 0$
$ \Leftrightarrow {y^2} \le \frac{{22}}{6}$
$ - \frac{{\sqrt {33} }}{3} \le y \le \frac{{\sqrt {33} }}{3}$
Vì $y \in Z \Rightarrow y \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}$
*Nếu y =-1 thì
${x^2} + 2x - 8 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x =  - 4
\end{array} \right.$
*Nếu y=0 thì:
${x^2} - 2x - \frac{{19}}{2} = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{ - 2 + \sqrt {42} }}{2}(loại)}\\
{x = \frac{{ - 2 - \sqrt {42} }}{2}(loại)}
\end{array}} \right.$
*Nếu y=1
${x^2} + 2x - 8 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x =  - 4
\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là $(x,y) = (2;1),\left( { - 4;1} \right),\left( {2; - 1} \right);\left( { - 4; - 1} \right)$

b)Gọi phương trình của bài là A.
Ta biếm đổi phương trình thành phương trình bậc 2 đối vs X:
\[A = {x^2} - (y + 1)x + ({y^2} - y) = 0\]
(1)
Điều kiện cần để (1) có nghiệm là
 \[\Delta  \ge 0\]
\[\begin{array}{l}
 \Delta  = {(y + 1)^2} - 4({y^2} - y) \\
  =  - 3{y^2} + 6y + 1 \ge 0 \\
  \Leftrightarrow 3{y^2} - 6y - 1 \le 0 \\
  \Leftrightarrow 3{(y - 1)^2} \le 4 \\
  \\
 \end{array}\]
Do đó
\[{(y - 1)^2} \le 1\]
Nên y phải thuộc 0;1;2
Với y=0 thay vào (1) ta sẽ được:
\[{x^2} - x = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0;{x_2} = 1\]
Với y=1 thay vào (1) ta sẽ được:
\[{x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow {x_3} = 0;{x_4} = 2\]
Với y=2 thay vào (1) ta sẽ được:
\[{x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow {x_5} = 1;{x_6} = 2\]
Từ đây ta suy ra được A có 6 cặp nghiệm:
(0 ; 0); (1 ; 0); (0 ; 1); (2 ; 1); (1 ; 2); (2;2).                   ⇔3(y−1)2⩽4

1)Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:
${x^2} + {y^2} = 1999$
*Nếu x là số chẵn x sẽ có dạng $x = 2m$
  Nếu x là số lẻ x sẽ có dạng $x = 2m + 1$ (m là số nguyên bất kì)
*Nếu y là số chẵn y sẽ có dạng $y = 2n$
  Nếu y là số lẻ y sẽ có dạng $y = 2n + 1$ (n là số nguyên bất kì)
*Có: x chẵn thì ${x^2} = 4{m^2} \Rightarrow {x^2} \vdots 4$
        x lẻ thì ${x^2} = 4{m^2} + 4m + 1 \Rightarrow x:4$ dư 1
*Có: y chẵn thì ${y^2} = 4{n^2} \Rightarrow {y^2} \vdots 4$
        y lẻ thì ${y^2} = 4{n^2} + 4n + 1 \Rightarrow y:4$ dư 1
Ta muốn biết ${x^2} - {y^2}$ chia 4 sẽ có số dư bao nhiêu ta xét từng trường hợp sau:
*Trường hợp 1: x, y cùng chẵn
${x^2} + {y^2} = 4\left( {{m^2} + {n^2}} \right)$ chia hết cho 4.
*Trường hợp 2: x, y cùng lẻ
${x^2} + {y^2} = 4\left( {{m^2} + m + {n^2} + n} \right) + 2$ chia 4 dư 2.
*Trường hợp 3: x chẵn, y lẻ:
${x^2} + {y^2} = 4\left( {{m^2} + {n^2} + n} \right) + 1$ chia 4 dư 1.
*Trường hợp 4: x lẻ, y chẵn tương tự như x chẵn, y lẻ.
Mà 1999 chia 4 dư 3 Vì vậy ${x^2} + {y^2} = 1999$ không có nghiệm nguyên.
Vậy ${x^2} + {y^2} = 1999$ không có nghiệm nguyên

1)Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:
${x^2} - {y^2} = 1998$
*Nếu x là số chẵn x sẽ có dạng $x = 2m$
  Nếu x là số lẻ x sẽ có dạng $x = 2m + 1$ (m là số nguyên bất kì)
*Nếu y là số chẵn y sẽ có dạng $y = 2n$
  Nếu y là số lẻ y sẽ có dạng $y = 2n + 1$ (n là số nguyên bất kì)
*Có: x chẵn thì ${x^2} = 4{m^2} \Rightarrow {x^2} \vdots 4$
        x lẻ thì ${x^2} = 4{m^2} + 4m + 1 \Rightarrow x:4$ dư 1
*Có: y chẵn thì ${y^2} = 4{n^2} \Rightarrow {y^2} \vdots 4$
        y lẻ thì ${y^2} = 4{n^2} + 4n + 1 \Rightarrow y:4$ dư 1
Ta muốn biết ${x^2} - {y^2}$ chia 4 sẽ có số dư bao nhiêu ta xét từng trường hợp sau:
*Trường hợp 1: x, y cùng chẵn:
${x^2} - {y^2} = 4\left( {{m^2} - {n^2}} \right)$ chia hết cho 4.
*Trường hợp 2: x, y cùng lẻ:
${x^2} - {y^2} = 4\left( {{m^2} + m - {n^2} - n} \right)$ chia hết cho 4
*Trường hợp 3: x chẵn y lẻ
${x^2} - {y^2} = 4\left( {{m^2} + m - {n^2} - n - 1} \right) + 3$ chia 4 dư 3.
*Trường hợp 4: y chẵn, x lẻ tương tự như trường hợp x chẵn, y lẻ.
Mà 1998 chia 4 dư 2 Vì vậy ${x^2} - {y^2} = 1998$ không có nghiệm nguyên.
Vậy ${x^2} - {y^2} = 1998$ không có nghiệm nguyên.

4)Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
$d)2{x^2} + 4x = 19 - 3{y^2}$
Giải
$\begin{array}{l}
2{x^2} + 4x = 19 - 3{y^2}\\
 \Leftrightarrow 2{\left( {x + 1} \right)^2} = 3\left( {7 - {y^2}} \right)
\end{array}$
Vì vế phải chia hết cho 3 nên ${\left( {x + 1} \right)^2}$ phải chia hết cho 3
*Có: ${\left( {x + 1} \right)^2}$ chia hết cho 3
Suy ra $\left( {x + 1} \right)$ chia hết cho 3
Đặt $\left( {x + 1} \right)$ là $3k$, ($k \in Z$) ta được:
$2.{\left( {3k} \right)^2} = 3\left( {7 - {y^2}} \right)$
$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 18{k^2} = 3\left( {7 - {y^2}} \right)\\
 \Leftrightarrow {y^2} = 7 - 6{k^2}
\end{array}$
*Có: $7 - 6{k^2} \ge 0$ (vì ${y^2}$ không âm).
$ \Leftrightarrow 6{k^2} \le 7$
$ \Leftrightarrow  - \sqrt {\frac{7}{6}}  \le k \le \sqrt {\frac{7}{6}} $
Mà $k \in Z$ Suy ra $k \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}$
*Với $k =  - 1$
${x + 1 = 3.\left( { - 1} \right)}$
$ \Leftrightarrow x =  - 4$
Với x=-4 thì
$\begin{array}{l}
19 - 3{y^2} = 16\\
 \Leftrightarrow {y^2} = 1
\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 1\\
y =  - 1
\end{array} \right.$
*Với $k = 1$
${x + 1 = 3.1}$
${ \Leftrightarrow x = 2}$
Với x=2 thì:
$\begin{array}{l}
19 - 3{y^2} = 16\\
 \Leftrightarrow {y^2} = 1
\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 1\\
y =  - 1
\end{array} \right.$
*Với $k = 0$
${x + 1 = 3.0}$
${ \Leftrightarrow x =  - 1}$
${ \Rightarrow y =  \pm \sqrt 7 }$
Vậy phương trình có nghiệm nguyên $(x,y) = (2;1),\left( { - 4;1} \right),\left( {2; - 1} \right);\left( { - 4; - 1} \right)$

4) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
$b)x + y + xy = {x^2} + {y^2}$
Giải
$x + y + xy = {x^2} + {y^2}$
$ \Leftrightarrow 2x + 2y + 2xy = 2{x^2} + 2{y^2}$
$ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2$
$ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1 + 1$
$ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1 + 1 + 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 0\\
x - 1 = 1\\
y - 1 = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 0\\
x - 1 =  - 1\\
y - 1 =  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 0
\end{array} \right.$
$\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - y =  - 1\\
y - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1\\
y - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
$\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - y =  - 1\\
x - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1\\
x - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm nguyên $\left( {x,y} \right) = \left( {0;0} \right),\left( {0;1} \right),\left( {1;0} \right),\left( {2;2} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;1} \right)$

$c)xy - x - y = 2$
Giải
$xy - x - y = 2$
$ \Leftrightarrow x\left( {y - 1} \right) - \left( {y - 1} \right) = 3$
$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) = 3$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 =  - 3\\
y - 1 =  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2\\
y =  - 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 = 1\\
y - 1 = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 4
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
$\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 =  - 1\\
y - 1 =  - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y =  - 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 = 3\\
y - 1 = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
y = 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là $\left( {x,y} \right) = \left( {4;2} \right),\left( {2;4} \right),\left( {0; - 2} \right),\left( { - 2;0} \right)$

${x^2} + {y^2} - x - y = 8$              (1)
Giải:
 (1)$ \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} - 4x - 4y = 32$
     $\begin{array}
   \Leftrightarrow (4{x^2} + 4x + 1) + (4{y^2} - 4y + 1) = 34  \\
   \Leftrightarrow |2x - 1{|^2} + |2y - 1{|^2} = {3^2} + {5^2}  \\
\end{array} $
Vì chỉ có thể  phân tích thành tồng của hai số chính phương ${3^2},{5^2}$. Nên phương trình thỏa mãn chỉ có thể là:
                    $\left\{ \begin{array}
  |2x - 1| = 3  \\
  |2y - 1| = 5  \\
\end{array}  \right.$  hoặc  $\left\{ \begin{array}
  |2x - 1| = 5  \\
  |2y - 1| = 3  \\
\end{array}  \right.$
  $ \Rightarrow $Phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là: (2 ; 3), (3 ; 2), ($ - $1 ; $ - $2), ($ - $2 ; $ - $1)

 $9x + 2 = y(y + 1)$
Ta thấy  vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên $y(y + 1)$ chia cho 3 sẽ dư 2.
Nên:
$y = 3k + 1$, $y + 1 = 3k + 2$ với k nguyên
Khi đó:
$9x + 2 = (3k + 1)(3k + 2)$
            $ \Leftrightarrow 9x = 9k(k + 1)$
            $ \Leftrightarrow x = k(k + 1)$
Đáp số
$\left\{ \begin{array}

  x = k(k + 1)  \\

  y = 3k + 1  \\
\end{array}  \right.$ với $k$ là số nguyên

Bài 4:a

$\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - x - y = 8\\
\Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{17}}{2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\\
{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{25}}{4}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{25}}{4}\\
{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - \frac{1}{2} = \pm \frac{3}{2}\\
y - \frac{1}{2} = \pm \frac{5}{2}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x - \frac{1}{2} = \pm \frac{5}{2}\\
y - \frac{1}{2} = \pm \frac{3}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy pt có các nghiệm nguyên $\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right);\left( { - 1; - 2} \right);\left( {3;2} \right);\left( { - 2; - 1} \right)$