Tự học online

2)Cho a, b, c là ba số hữu tỉ khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng: $B = \sqrt {\frac{1}{{{{(a - b)}^2}}} + \frac{1}{{{{(b - c)}^2}}} + \frac{1}{{{{(c - a)}^2}}}} $ là một số hữu tỉ (HD: Kết hợp câu 1).
Có: $\left| {\frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{c - a}}} \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{c - a}}} \right)}^2}} $
$ = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{2}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{2}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{2}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}} $
$ = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + 2\left( {\frac{{a - b + c - a + b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}} \right)} $
$ = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}} $
Vậy $\left| {\frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{c - a}}} \right|$$ = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}} $
Có: a, b, c là ba số hữu tỉ nên $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ là số hữu tỉ. Suy ra $\left| {\frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{c - a}}} \right|$
Vậy $B = \sqrt {\frac{1}{{{{(a - b)}^2}}} + \frac{1}{{{{(b - c)}^2}}} + \frac{1}{{{{(c - a)}^2}}}} $ là số hữu tỉ

Cách 2: 1)Cho a, b, c là những số hữu tỉ khác 0 và a=b+c . Chứng minh rằng: $A = \sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} $ là số hữu tỉ.
Có: $\left| {\frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \frac{1}{c}} \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \frac{1}{c}} \right)}^2}} $
$ = \sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} - \frac{2}{{ab}} - \frac{2}{{ac}} + \frac{2}{{bc}}} $
$ = \sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 2\left( {\frac{1}{{bc}} - \frac{1}{a}\left( {\frac{{b + c}}{{bc}}} \right)} \right)} $
Thay a=b+c vào ta được:
$ = \sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 2.\left( {\frac{1}{{bc}} - \frac{1}{{bc}}} \right)} $
$ = \sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} $
Có: $a,b,c$ là số hữu tỉ nên suy ra $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ là số hữu tỉ
Vậy $A = \sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} $

1) Cho a, b, c là những số hữu tỉ khác 0 và $a = b + c$. Chứng minh rằng: $A = \sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} $.
*Thay $a = b + c$ vào A ta được: $A = \sqrt {\frac{1}{{{{(b + c)}^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} $.
*Ta sẽ chứng minh: $A = \sqrt {\frac{1}{{{{(b + c)}^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}}  = \left| {\frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{{c + b}}} \right|$
Có: $\frac{2}{{bc}} - \frac{2}{{b(b + c)}} - \frac{2}{{c(b + c)}}$
$ = 2\left( {\frac{1}{{bc}} - \frac{1}{{b(b + c)}} - \frac{1}{{c(b + c)}}} \right)$
$ = 2.\frac{0}{{ab(a + b)}}$
$ = 0$
Có: $A = \sqrt {\frac{1}{{{{(b + c)}^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} $
$\, = \sqrt {\frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} - \frac{1}{{{{(b + c)}^2}}} + \frac{2}{{bc}} - \frac{2}{{b(b + c)}} - \frac{2}{{c(b + c)}}} $
$ = {\sqrt {\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{{b + c}}} \right)} ^2}$
$ = \left| {\frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{{b + c}}} \right|$
Có: $a,b,c$ là số hữu tỉ nên suy ra $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ cũng sẽ là số hữu tỉ nên $\left| {\frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{{b + c}}} \right|$ là số hữu tỉ.
Vậy $A = \sqrt {\frac{1}{{{{(b + c)}^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} $ là số hữu tỉ nên $A = \sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} $

3.
Có:
\[\begin{array}{l}
 ab + bc + ca = 1 \\
Nên:

  \ {a^2} + 1 = {a^2} + ab + bc + ca \\
  = a(a + b) + c(a + b) \\
  = (a + c)(a + b) \\
 \end{array}\]
\[\begin{array}{l}
 {b^2} + 1 = {b^2} + ab + bc + ca \\
  = b(a + b) + c(a + b) \\
  = (b + a)(c + b) \\
 \end{array}\]
\[\begin{array}{l}
 {c^2} + 1 = {c^2} + ab + bc + ca \\
  = b(a + c) + c(a + c) \\
  = (c + a)(c + b) \\
 \end{array}\]
Từ đây ta được:
\[\begin{array}{l}
 C = \sqrt {({a^2} + 1)({b^2} + 1)({c^2} + 1)}  \\
  = \sqrt {(a + b)(a + c)(b + c)(a + b)(c + a)(c + b)}  \\
  = \sqrt {{{(a + b)}^2}{{(b + c)}^2}{{(c + a)}^2}}  \\
  = \left| {(a + b)(b + c)(c + a)} \right| \\
 \end{array}\]
Mà a,b,c là số hữu tỉ nên \[\sqrt {({a^2} + 1)({b^2} + 1)({c^2} + 1)} \]
là số hữu tỉ.