Tự học online

$\begin{array}{l}
{n^5} - n = \left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots 5\\
\Rightarrow 3\left( {{n^5} - n} \right) \vdots 15
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
{n^3} - n = \left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right) \vdots 3\\
\Rightarrow 5\left( {{n^3} - n} \right) \vdots 15
\end{array}$
Mà:

$\begin{array}{l}
15n \vdots 15\\
\Rightarrow \frac{{3\left( {{n^5} - n} \right) + 5\left( {{n^3} - n} \right) + 15n}}{{15}} \vdots 15
\end{array}$
Vậy A luôn nguyên với mọi n nguyên

$\begin{array}{l}
{a^3} - a = a\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right) \vdots 3\\
\Rightarrow 3\left( {{a^3} - a + 3a} \right) \vdots 9
\end{array}$
Vậy tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3

\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b) \\
= \left[ {3n + 1 - (3m + 1)} \right]\left[ {3n + 1 + (3m + 1)} \right] \\
= 3(n - m)\left[ {3(n + m) + 2} \right] \\
\end{array}\]
( Chia hết cho 3)
**Với a,b cùng lẻ, cùng chia 3 dư 2

\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b) \\
= 3(n - m)\left[ {3(n + m) + 4} \right] \\
\end{array}\]
( Chia hết cho 3)
***Với a,b cùng lẻ, a chia 3 dư 1 và b chia 3 dư 2

\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b) \\
= 3\left[ {3(n - m) - 1} \right](n - m + 1) \\
\end{array}\]
( Chia hết cho 3)
 Kết luận: Với a,b lẻ bất kì không chia hết cho 3 thì \[{a^2} - {b^2}\] luôn chia hết cho 3.
Lại có:

\[\begin{array}{l}
{a^2} - {b^2} = {a^2} - 1 - ({b^2} - 1) \\
= (a - 1)(a + 1) - (b - 1)(b + 1) \\
\\
\end{array}\]
Vì a, b lẻ nên \[(a - 1)\] và \[(a + 1)\] hay \[(b - 1)\] và \[(b + 1)\] là 2 số chẵn đồng thời cũng liên tiếp nhau. 
Áp dụng nhận định : tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8, ta có:

\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow (a - 1)(a + 1) \vdots 8 và (b - 1)(b + 1) \vdots 8  
\Leftrightarrow \left[ {(a - 1)(a + 1) - (b - 1)(b + 1)} \right] \vdots 8 \\
\Leftrightarrow ({a^2} - {b^2}) \vdots 8 \\
\end{array}\]
Từ các phân tích ở trên, ta có kết luận:
Do 3 và 8 nguyên tố cùng nhau mà \[{a^2} - {b^2}\] lại cùng chia hết cho 3 và 8 nên \[{a^2} - {b^2}\] chia hết cho 24