Tự học online

NGUYÊN LÝ ĐỒNG BẬC

VD về các biểu thức đồng bậc 3 là: $a^3; a^2c; c^3; a^2b$; $\frac{{{a^4}}}{b};\,\frac{{{a^5}}}{{bc}};\,\frac{{a{b^3}}}{c}$ …
-Các đa thức đại diện 3 biến bậc 1 là: a + b + c
-Các đa thức đại diện 3 biến bậc 2 là: $a^2 + b^2 + c^2$ ; ab + ac + bc
-Các đa thức đại diện 3 biến bậc 3 là: $a^3 + b^3 + c^3$ ; …
-Để so sánh các BĐT đồng bậc sử dụng Cauchy, nguyên lý chung là lấy vế phức tạp cộng thêm đa thức đồng bậc đại diện.
Kí hiệu:
$\sum\limits_{cyc} {} $ Tổng các hoán vị --- $\sum\limits_{sym} {} $ tổng đối xứng
Ví dụ: $\sum\limits_{cyc}^{} {{a^2}} b = {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a$
$\sum\limits_{sym}^{} {{a^2}} b = {a^2}b + {b^2}a + {b^2}c + {c^2}b + {c^2}a + {a^2}c$

CÁC VÍ DỤ

VD1: Chứng minh rằng: $\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} \ge a + b + c\,\,(\forall a,b,c > 0)$

Nhận xét: cả 2 vế đồng bậc 1 nên ta lấy vế trái cộng thêm vào biểuthức bậc 1.

Ta có: \[\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} + a + b + c = \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{a^2}}}{b} + b} \right)}  \ge \sum\limits_{cyc} {2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{b}.b} }  = \sum\limits_{cyc} {2a}  = 2(a + b + c) \Rightarrow dpcm\]

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

VD2: Chứng minh rằng: $\frac{{{a^3}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^2}}} \ge a + b + c\,\,(\forall a,b,c > 0)$

Nhận xét: Cả 2 vế là các biểu thức đồng bậc 1 nên ta cộng vế phải với biểu thức bậc 1.

-Để ý rằng vì phải áp dụng cauchy nên mẫu phải triệt tiêu. Để mẫu  triệt tiêu mà lại phải cộng thêm vào đa thức bậc 1 vậy ta cần phải có: b + b. Suy ra đa thức cộng thêm vào là 2(a+b+c)
\[\frac{{{a^3}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^2}}} + 2(a + b + c) = \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{a^3}}}{{{b^2}}} + b + b} \right)}  \ge {\rm{ }}\sum\limits_{cyc} {3\sqrt[3]{{\frac{{{a^3}}}{{{b^2}}}bb}}}  = \sum\limits_{cyc} {3a}  = 3(a + b + c) \Rightarrow dpcm\]
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

VD3: Chứng minh rằng: $\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge ab + bc + ac\,\,(\forall a,b,c > 0)$

Nhận xét: Cả 2 vế là các biểu thức đồng bậc 2 nên ta cộng thêm vào biểu thức bậc 2

-Lưu ý: Ta không thể cộng thê đa thức a² + b² + c² vì như thế không triệt tiêt mẫu

-Như vậy ta phải cộng thêm vào biểu thức bậc 2 có dạng ab + ac + bc có nghĩa là ta phải kết hợp ab với $\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{c^3}}}{a}$ từ đó ta cần phải có:
\[2\left( {\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a}} \right) + ab + bc + ac = \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + bc} \right)}  \ge \sum\limits_{cyc} {3\sqrt[3]{{\frac{{{a^3}}}{b}.\frac{{{b^3}}}{c}.bc}}}  = \sum\limits_{cyc} {3ab}  = 3(ab + ac + bc) \Rightarrow dpcm\]
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Chứng minh rằng:
1)$\frac{{{a^3}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^2}}} \ge \frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a}\,\,(\forall a,b,c > 0)$
2)$\frac{{{a^3}}}{{bc}} + \frac{{{b^3}}}{{ca}} + \frac{{{c^3}}}{{ab}} \ge a + b + c\,\,(\forall a,b,c > 0)$
3)$\frac{{{a^5}}}{{{b^3}}} + \frac{{{b^5}}}{{{c^3}}} + \frac{{{c^5}}}{{{a^3}}} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\,\,(\forall a,b,c > 0)$